Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein Ereignis B bereits vorher eingetreten ist. Es wird geschrieben als $P(A|B)$, der senkrechte Strich ist als "unter der Voraussetzung" zu lesen und wie folgt zu verstehen: Wenn man das Ereignis B voraussetzt, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A $P(A|B)$, es handelt sich also nicht um eine (logische) Bedingung für A.

2 Variablen

Wenn A und B abhängige Ereignisse sind, und P(B) > 0 ist, dann gilt

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

Es ist

$P(A\cap B)$

die Verbundwahrscheinlichkeit, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gemeinsam auftreten. Die Verbundwahrscheinlichkeit wird teilweise auch einfach P(A,B) geschrieben. Es gilt durch Umformen natürlich auch:

$P(A\cap B)={P(A|B)}\cdot {P(B)}={P(B|A)}\cdot {P(A)}$

Wenn A und B jedoch unabhängig sind, dann gilt

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\Rightarrow P(A|B)=P(A)$

Sind nur bedingte und bedingende Wahrscheinlichkeiten bekannt, ergibt sich die totale Wahrscheinlichkeit von A aus:

$P(A)=P(A|B)\cdot P(B)+P(A|{\bar {B}})\cdot P({\bar {B}})$

n Variablen

Man betrachte dazu den multivariaten Fall mit mehr als zwei Zufallsereignissen:

$P(X_{1};X_{2};...;X_{n})$

Verallgemeinert man den obigen Ausdruck für zwei Variablen erhält man den allgemeinen Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeiten:

$P(X_{1};X_{2};...;X_{n})=P(X_{1})P(X_{2}|X_{1})P(X_{3}|X_{2};X_{1})...P(X_{n}|X_{n-1};...;X_{1})=P(X_{1}){\frac {P(X1;X2)}{P(X_{1})}}...{\frac {P(X_{n};...;X_{1})}{P(X_{n-1};...;P(X_{1}))}}$

Besonders anschaulich ist hier das Rechnen mit einem Entscheidungsbaum, da hier das Diagramm gleichsam "mitrechnet": die Daten sind leicht einzusetzen, und man wird sequentiell an den richtigen Rechengang heran geführt.

Beispiele findet man im Artikel Bayes-Theorem.

Beispiele

Junge oder Mädchen?

Eine Mutter hat zwei Kinder und wird nach dem Geschlecht der Kinder gefragt. Fall 1 dient Vergleichszwecken und basiert nicht auf bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Fall 1: Wenn das erste Kind ein Mädchen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das zweite Kind ein Mädchen ist? Die Antwort ist 1:2.

Fall 2: Wenn eines der Kinder ein Mädchen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das andere Kind ein Mädchen ist? Die Antwort ist 1:3.

Das zunächst überraschende Ergebnis läßt sich mit der folgenden Tabelle bestimmen. Die ersten beiden Spalten zeigen, welche Möglichkeiten bei zwei Kindern bestehen: Das Erstgeborene kann ein Junge oder ein Mädchen sein, das zweitgeborene kann ebenfalls ein Junge oder ein Mädchen sein, insgesamt gibt es bei den Geschlechtern vier Kobinationen.

Spalte 3 zeigt die Möglichkeiten, wenn man, wie in Fall 1, davon ausgeht, dass das erste Kind ein Mädchen sein muss - die Zeilen 1 und 2 sind dann nicht möglich.

Spalte 4 zeigt die Möglichkeiten, wenn man, wie in Fall 2, davon ausgeht, dass wenigstens eines der beiden Kinder ein Mädchen ist.

	1. Kind	2. Kind	Lösung zu Fall 1: Zweites Kind ist...	Lösung für Fall 2: Anderes Kind ist...
1	Junge	Junge	(geht nicht)	(geht nicht)
2	Junge	Mädchen	(geht nicht)	Junge
3	Mädchen	Junge	Junge	Junge
4	Mädchen	Mädchen	Mädchen	Mädchen

Einfaches abzählen zeigt, dass in Fall 1 eine von zwei Möglichkeiten auf ein Mädchen, aber in Fall 2 nur eine von drei Möglichkeiten auf ein Mädchen hinweist.

Weitere Beispiele

• Beispielsweise ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(„die Erde ist nass“|„es regnet“) (die Erde ist nass, wenn es regnet) meist groß, denn unter der Voraussetzung, dass es zu einem Zeitpunkt regnet, sollte man erwarten, dass die Erde nass wird. Bedingte Wahrscheinlichkeit fragt also nach, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, wenn ich ein anderes bereits kenne. In unserem Beispiel weiß ich, dass es regnet und frage mich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Erde nass ist. Offensichtlich unterscheidet sich die bedingte Wahrscheinlichkeit von der unbedingten.

• Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der französisch spricht, ein Franzose ist, ist weder gleich groß der Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der ein Franzose ist, auch französisch spricht, noch ergänzen sich beide Wahrscheinlichkeiten auf 100%.

Siehe auch

Fehler 1. Art,Fehler 2. Art, Absolute Häufigkeit,Irrtumswahrscheinlichkeit, Verbundentropie, Kausalbeziehung, Schnittmenge, DNA-Test, Zahlenanalphabetismus, Sensitivität, Falsch positiv, Positiver prädiktiver Wert, Bayessches Netzwerk, Bayes-Filter,Ziegenproblem, Umtauschparadoxon

Weblinks

• Der Trugschluß des Ermittlers Spektrum der Wissenschaft Juli 1997 ("Mathematische Unterhaltungen")
• http://www.sencer.de/index.php?p=9&more=1
• http://www.fernuni-hagen.de/www2bonsai/WTHEORIE/ds/node6.html