Algebra (Mengensystem)

In der Mathematik ist eine (Mengen-)Algebra ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und komplementstabil ist (Ereignissystem).

Felix Hausdorff nannte aufgrund einer entfernten Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Körpers in der Zahlentheorie eine Mengenalgebra „Körper“, in Analogie zu seiner Bezeichnung „Ring“ für einen Mengenverband. Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, außerdem unterscheidet sich dieser Begriff des Körpers wesentlich von dem eines Körpers im Sinne der Algebra.

Auch das Teilgebiet der Mathematik, das vom Rechnen mit Mengen handelt, wird als Mengenalgebra bezeichnet. Ähnlich doppeldeutig ist auch der Begriff Algebra, der für ein Teilgebiet der Mathematik und auch für eine spezielle algebraische Struktur benutzt wird. Der hier verwendete Begriff der Mengenalgebra steht aber in einem engen Zusammenhang mit dem der booleschen Algebra, also einer anderen speziellen algebraischen Struktur.

Definition

Sei $\Omega$ eine beliebige Menge. Ein System ${\mathcal {A}}$ von Teilmengen von $\Omega$ heißt eine Mengenalgebra oder Algebra über $\Omega$, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. ${\mathcal {A}}\neq \emptyset$ (${\mathcal {A}}$ ist nicht leer).
2. $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathcal {A}}$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
3. $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Komplement).

Beispiele

• Für jede beliebige Menge $\Omega$ ist $\{\emptyset ,\Omega \}$ die kleinste und die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$ die größte mögliche Mengenalgebra.
• Jede σ-Algebra ist eine Mengenalgebra (aber nicht jede Mengenalgebra ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften

• Jede Mengenalgebra ${\mathcal {A}}$ über $\Omega$ enthält immer $\Omega$ und auch die leere Menge $\emptyset$, denn ${\mathcal {A}}$ enthält mindestens ein Element $A$ und damit sind $\Omega =A\cup (\Omega \setminus A)=A\cup A^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}$ sowie $\emptyset =\Omega \setminus \Omega =\Omega ^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}.$
• Das 6-Tupel $({\mathcal {A}},\cup ,\emptyset ,\cap ,\Omega ,{}^{\mathrm {c} })$ mit der Mengenalgebra ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ ist eine boolesche Algebra im Sinne der Algebra, wobei $A\cap B=(A^{\mathrm {c} }\cup B^{\mathrm {c} })^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}$ für alle $A,B\in {\mathcal {A}}$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt). Die leere Menge $\emptyset$ entspricht dabei dem Nullelement und $\Omega$ dem Einselement.

Ist umgekehrt ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ ein Mengensystem, so dass $({\mathcal {A}},\cup ,\emptyset ,\cap ,\Omega ,{}^{\mathrm {c} })$ eine boolesche Algebra ist (im Sinne der Algebra), dann ist ${\mathcal {A}}$ offensichtlich auch eine Mengenalgebra.

• Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede endliche Vereinigung und jeder endliche Durchschnitt von Elementen der Mengenalgebra ${\mathcal {A}}$ in ihr enthalten ist, d. h. für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt:

$A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A_{1}\cup \dots \cup A_{n}\in {\mathcal {A}}$ und $A_{1}\cap \dots \cap A_{n}\in {\mathcal {A}},$

$\bigcup \emptyset =\emptyset \in {\mathcal {A}}$ und $\bigcap \emptyset =\Omega \in {\mathcal {A}}.$

Äquivalente Definitionen

Wenn ${\mathcal {A}}$ ein System von Teilmengen von $\Omega$ ist und wenn $A,B$ Mengen sind, dann sind wegen $A\cap B=A\setminus (A\setminus B)$ und $A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$ folgende zwei Aussagen äquivalent:

• $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}.$
• $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {A}}$ und falls $B\subseteq A$ auch $A\setminus B\in {\mathcal {A}}.$

Bezeichnet darüberhinaus $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$ die symmetrische Differenz von $A,B,$ so sind wegen $A\setminus B=A\cap B^{\mathrm {c} }$ und $A\setminus B=A\triangle (A\cap B)$ sowie $A\cup B=(A^{\mathrm {c} }\cap B^{\mathrm {c} })^{\mathrm {c} }$ äquivalent:

• ${\mathcal {A}}$ ist eine Mengenalgebra.
• ${\mathcal {A}}$ ist ein Mengenverband und es gilt: $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}.$
• $({\mathcal {A}},\cup ,\emptyset ,\cap ,\Omega ,{}^{\mathrm {c} })$ ist eine boolesche Algebra im Sinne der Algebra.
• ${\mathcal {A}}$ ist ein Mengenring und $\Omega \in {\mathcal {A}}.$
• ${\mathcal {A}}$ ist eine Mengenhalbalgebra und es gilt: $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathcal {A}}.$
• $({\mathcal {A}},\triangle ,\cap ,\Omega )$ ist ein unitärer Ring im Sinne der Algebra.
• $({\mathcal {A}},\triangle ,\cap ,\Omega )$ ist ein boolescher Ring im Sinne der Algebra.
• $\Omega \in {\mathcal {A}}$ und es gilt: $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}.$
• ${\mathcal {A}}\neq \emptyset$ und es gilt: $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}$ und $A^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}.$
• ${\mathcal {A}}\neq \emptyset$ und es gilt: $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {A}}$ und $A^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}.$

Verwandte Strukturen

• Wenn eine Mengenalgebra sogar bezüglich der Vereinigung abzählbar unendlich vieler ihrer Elemente abgeschlossen ist, dann erhält man eine σ-(Mengen-)Algebra.

Siehe auch

• Mengenlehre

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. überarb. Aufl.. W. de Gruyter, Berlin–New York 1992. ISBN 3-11-013626-0
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin–Heidelberg 1996. ISBN 3-540-15307-1
• Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2. überarb. Aufl.. Bibliographisches Institut, Zürich 1985. ISBN 3-411-03102-6
• Guido Walz (Red.): Lexikon der Mathematik. Band 3. Inp bis Mon. Spektrum Akad. Verl., Heidelberg 2001. ISBN 3-8274-0435-5 (teilweise sehr fehlerhaft)