Kreisfläche

Die Kreisfläche ist in der Mathematik die vom Kreisumfang umschlossene Fläche. Sie ist gleichzeitig die Fläche, die von einer Strecke überstrichen wird, die um eine zu ihr senkrecht stehende Drehachse rotiert.

Die Kreisfläche F steht in einem quadratischen Zusammenhang zum Radius r bzw. zum Durchmesser d des Kreises:

$F=r^{2}\times \pi$

oder

$F={\frac {d^{2}\times \pi }{4}}$

Bereits in der Antike suchte man nach einem Quadrat mit ganzzahliger Kantenlänge, das den gleichen Flächeninhalt wie ein Kreis mit ganzzahligem Radius hat. Diese Quadratur des Kreises [1] gilt heute als Sinnbild für eine unlösbare Aufgabe.

Die Fläche eines Kreises lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihm kleine Quadrate unterlegt. Zählt man alle Quadrate, die vom Kreis vollständig bedeckt werden, so erhält man einen etwas zu niedrigen Wert für die Fläche, zählt man auch alle Quadrate mit, die der Kreis lediglich schneidet, so ist der Wert zu groß. Der Mittelwert beider Ergebnisse nähert die wahre Fläche recht gut an.

Eine andere Möglichkeit zur Kreisflächenbestimmung ist, in den Kreis ein gleichseitiges Sechseck einzuzeichnen, dessen Ecken den Kreis eben berühren. Werden nun die Seitenmitten vom Mittelpunkt aus auf den Kreis projiziert und diese neuen Punkte mit den alten Ecken verbunden, so entsteht ein regelmäßiges Zwölfeck. Wird dieser Vorgang wiederholt, entstehen nacheinander ein 24-Eck, ein 48-Eck und so fort. Deren Flächen lassen sich durch Dreiecksflächenberechnung exakt bestimmen. Der Grenzwert der Folge dieser Flächen ist die Kreisfläche. Ähnlich kann man mit einem Sechseck verfahren, das von außen an den Kreis gezeichnet ist, dessen Seitenmitten ihn also berühren. Schließlich gibt der Mittelwert aus den Flächen des äußeren und des inneren Sechsecks (Zwölfecks,...) wieder eine gute Näherung. Das arythmetische Mittel der Ergebnisse der beiden letztgenannten Methoden ist wiederum eine sehr genaue Möglichkeit der Annäherung an den exakten Wert der Kreisfläche.