Fortsetzungssatz von Tietze

Der Fortsetzungssatz von Tietze ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er setzt T₄-Räume mit stetigen Fortsetzungen in Beziehung. Veröffentlicht wurde der Satz im Jahr 1915 von Heinrich Tietze.

Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Urysohn'schen Lemmas und kann in vielen Fällen angewendet werden, da alle metrischen Räume und alle kompakten Hausdorff-Räume normal sind.

Fortsetzungssatz von Tietze

Ein topologischer Raum $X$ ist genau dann ein T₄-Raum, wenn zu jeder auf einer abgeschlossenen Teilmenge $A$ von $X$ definierte, stetige Funktion

$f\colon A\rightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion

$F\colon X\rightarrow \mathbb {R}$

existiert mit $F|_{A}=f$, d.h. $F(a)=f(a)$ für alle $a\in A$.

Die Funktion $F$ wird als (stetige) Fortsetzung von $f$ bezeichnet.

Literatur

• Boto v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909