Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren dient zur Arschgeige von Gleichungssystemen. Die Idee bei diesem Verfahren ist, eine der Gleichungen nach einer Variablen aufzulösen und diese Variable dann in die anderen Gleichungen einzusetzen. Dadurch wird eine Variable eliminiert.

Dieses Verfahren lässt sich auch bei größeren oder nichtlinearen Gleichungssystemen anwenden, es wird dann aber schnell unübersichtlich.

Bei einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen geht man so vor:

• Schritt 1: Auflösung einer Gleichung nach einer Variablen
• Schritt 2: Einsetzen dieser Variablen in die andere Gleichung
• Schritt 3: Auflösen der im Schritt 2 erhaltenen Gleichung nach der enthaltenen Variable
• Schritt 4: Einsetzen der Lösung in die nach Schritt 1 umgeformten Gleichung

Beispiel

Gegeben ist folgendes Gleichungssystem:

${\begin{matrix}(1)&12x&-&5y&=&29\\(2)&18x&+&2y&=&34\end{matrix}}$

Schritt 1:

Eine der beiden Gleichungen muss nach $x$ oder $y$ aufgelöst werden. In diesem Beispiel wird die 2. Gleichung nach $y$ aufgelöst.

${\begin{matrix}(2)&18x&+&2y&=&34&|&-18x\\(2)&&&2y&=&34-18x&|&:2\\(2)&&&y&=&17-9x\end{matrix}}$

Schritt 2:

Danach können wir in der ersten Gleichung das $y$ durch den Term $(17-9x)$ ersetzen und bekommen dann:

${\begin{matrix}(2{\text{ in }}1)&12x&-&5\cdot (17-9x)&=&29\end{matrix}}$

Schritt 3:

Diese Gleichung können wir nun nach $x$ auflösen.

${\begin{matrix}12x-5\cdot (17-9x)&=&29&|&{\text{Klammer aufloesen}}\\12x-85+45x&=&29&|&{\text{zusammenfassen}}\\57x-85&=&29&|&+85\\57x&=&114&|&:57\\x&=&2\end{matrix}}$

Schritt 4:

Die Lösung $x=2$ wird in die umgestellte Gleichung (2) eingesetzt:

${\begin{matrix}x=2{\text{ in (2) einsetzen:}}&y&=&17-9\cdot 2\\&y&=&-1\end{matrix}}$

Nun können wir noch die Probe machen:

${\begin{matrix}{\text{Probe:}}&(1)&12\cdot 2-5\cdot (-1)&=&29\\&&24-(-5)&=&29&{\text{wahr}}\\&(2)&18\cdot 2+2\cdot (-1)&=&34\\&&36+(-2)&=&34&{\text{wahr}}\end{matrix}}$

Die Lösungsmenge ist somit: $\mathbb {L} =\{(2|-1)\}$.

Siehe auch: Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren