Reziproker Raum

Der reziproke Raum, oder k-Raum, ist ein Begriff aus der Kristallographie, der auch in der Festkörperphysik und der Festkörperchemie bei der Kristallstrukturanalyse verwendet wird.

Beschreibung

Wir betrachten zunächst ein Kristallgitter, einer regelmäßigen Anordnung von Punkten im Raum, die durch ihre Translationssymmetrie beschrieben wird. Ein Gitter, das im 3-dimensionalen Fall durch ganzzahlige Vielfache und Summen einer Menge von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, ist ein Spezialfall davon, den man Bravais-Gitter nennt. Sind die drei primitiven Gittervektoren (Basisvektoren) durch ${\vec {e}}_{1}$, ${\vec {e}}_{2}$ und ${\vec {e}}_{3}$ gegeben, so stellen die Translationen (mit ganzzahligen $l$ , $m$, $n$) die Gitterpunkte des Bravais-Gitters dar:

${\vec {R}}=l{\vec {e}}_{1}+m{\vec {e}}_{2}+n{\vec {e}}_{3}$

Eine Verschiebung des Kristalls um einen Gittervektor ${\vec {R}}$ führt den Kristall wegen der Translationssymmetrie in sich über.

Man kann sich nun ebene Wellen vorstellen $\exp(\mathrm {i} {\vec {K}}{\vec {r}}-\mathrm {i} \omega t)$, deren ebene Wellenfronten Punkte des Bravais-Gitters schneiden. Die ebene Welle soll die Periodizität des gegebenen Bravaisgitters $\left\{{\vec {R}}\right\}$ besitzen:

$\exp \left(\mathrm {i} {\vec {K}}{\vec {r}}-\mathrm {i} \omega t\right)=\exp \left(\mathrm {i} {\vec {K}}({\vec {r}}+{\vec {R}})-\mathrm {i} \omega t\right)$

Daraus folgt mit allen Gittervektoren ${\vec {R}}$ des gegebenen Bravaisgitters die Bedingung für die Wellenvektoren ${\vec {K}}$:

$\exp \left(\mathrm {i} {\vec {K}}{\vec {R}}\right)=1$   oder   ${\vec {K}}{\vec {R}}\ =2\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$

Die Menge aller Lösungen $\left\{{\vec {K}}\right\}$, die dieser Bedingung genügen, bilden selbst ein Bravais-Gitter. Es heißt reziprokes Gitter.

Der reziproke Raum ist somit der Raum der Wellenvektoren oder auch der Fourier-Raum der Gitterpunkte.

Siehe auch

• reziprokes Gitter
• Brillouin-Zone