Drehmoment

Physikalische Größe
Name	Drehmoment
Größenart	Moment
Formelzeichen

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Die physikalische Größe Drehmoment ist die an einem um eine Achse drehbaren Körper in Umfangrichtung wirkende Kraft multipliziert mit ihrem Abstand von der Drehachse, dem Kraftarm.

Das Drehmoment kann die Drehung des Körpers beschleunigen (zum Beispiel “Hochfahren” oder Bremsen eines Rotors). Öfters werden Zustände unter Gebrauch des Begriffs Drehmoment beschrieben, in denen Gleichgewicht (actio gleich reactio) herrscht. Dabei kann die Drehgeschwindigkeit konstant sein, zum Beispiel beim Fahren, wenn Gleichgewicht zwischen antreibendem und aus dem Fahrwiderstand resultierendem Drehmoment besteht. Der drehbare Körper kann auch in Ruhe sein, z.B. eine ausbalancierte Balkenwaage.

In der allgemeineren physikalischen Größe Moment ist das Drehmoment der rotative Anteil. Der translatorische Anteil wirkt als Kraft senkrecht auf die Rotationsachse.

Das Drehmoment ist die analoge Grösse zur Kraft, die bei der geradlinigen Translationsbewegung wirkt. Siehe hierzu auch die Tabelle in Rotation (Physik). Es hat die Maßeinheit Newtonmeter, das neben Joule und Wattsekunde auch eine Maßeinheit für Energie ist. Sowohl Drehmoment als auch Energie lassen sich als "Kraft mal Strecke" auffassen. Energie wird umgewandelt, wenn eine Kraft bei Bewegung über eine Strecke wirkt. Beim Drehmoment wirkt aber die Kraft senkrecht zur Strecke (hier Kraft- oder Hebelarm), Bewegung braucht nicht stattfinden.

Das Drehmoment ist das Kreuzprodukt von Kraftarm und Kraft :

{\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}

Drehmoment ist Kraftarm mal Kraft.

Grundlagen

Beziehung zwischen Kraft ${\vec {F}}$ , Drehmoment ${\vec {\tau }}$ , Impuls ${\vec {p}}$ , Drehimpuls ${\vec {L}}$ und Kraft- bzw. Hebelarm ${\vec {r}}$

Wirkt auf den Schwerpunkt eines frei beweglichen starren Körpers eine Kraft, so wird der Körper beschleunigt, das heißt, seine Geschwindigkeit verändert sich. Er führt eine geradlinige Translationsbewegung (Verschiebung) aus. Wird der Körper jedoch an einem Punkt festgehalten, so ist keine Translation mehr möglich, und die Bewegungsmöglichkeit des Körpers reduziert sich auf Rotationsbewegungen (Drehungen) um diesen Punkt. Die Größe, die diese Drehbewegung beeinflusst, d. h. die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit verursacht, heißt Drehmoment.

Eine einzelne Kraft ${\vec {F}}_{1}$ kann keine reine Drehbewegung verursachen!

Eine Veränderung der Drehbewegung ohne Änderung der Translationsbewegung ist erst möglich, wenn ein Kräftepaar angreift. Die zweite Kraft wird beispielsweise durch die drehbare Befestigung des Körpers aufgebracht. Ist die zweite Kraft entgegengesetzt gleich der ersten Kraft, ${\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}$ , so ist die resultierende Kraft auf den Körper null, und die Translationsbewegung ändert sich nicht. Trotzdem bewirkt dieses Kräftepaar ein Drehmoment auf den Körper und dadurch eine Veränderung der Drehbewegung. Dabei ist neben der Größe der beiden Kräfte ${\vec {F}}_{1}$ und ${\vec {F}}_{2}$ auch der Abstand der beiden Punkte, an denen die Kräfte angreifen, von Bedeutung. Der Abstand ${\vec {r}}$ ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft ${\vec {F}}_{2}$ zum Angriffspunkt von ${\vec {F}}_{1}$ zeigt. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente $\ r'$ von ${\vec {r}}$ bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft ${\vec {F}}_{1}$ (oder ${\vec {F}}_{2}$ ) steht. $\ r'$ ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken.

Der Betrag des Drehmomentes ist dann das Produkt von $|{\vec {F}}_{1}|$ mit $r'$

Datei:Rechte Daumen Regel.png

Rechte-Hand-Regel

Die Richtung des Drehmomentes ist senkrecht zur durch die Kraft ${\vec {F}}_{1}$ und den Abstandsvektor ${\vec {r}}$ aufgespannten Ebene gelegen, in derjenigen Richtung, in die der Daumen zeigt, wenn man mit den gekrümmten Fingern der rechten Hand in Richtung der durch das Drehmoment hervorgerufenen Drehbewegung zeigt. Diese „Rechte-Hand-Regel“ ist eine (willkürliche) Festlegung, die durchgängig bei allen Berechnungen der technischen Mechanik verwendet wird.

Dieser Zusammenhang zwischen den auf den Körper wirkenden Kräften, dem Abstandsvektor der beiden Angriffspunkte und dem Drehmoment (in Betrag und Richtung) wird in kompakter Form durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ausgedrückt. In dieser Darstellung erhält man für das Drehmoment ${\vec {M}}$ die Definition:

{\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}_{1}

.

Hauptartikel: D'Alembertsches Prinzip

Wirkt auf einen Körper eine, von null verschiedene, resultierende Kraft, z. B., weil nur eine einzige Kraft ${\vec {F}}_{1}$ von außen einwirkt, so wird der Körper nach dem 2. Newtonschen Gesetz beschleunigt. Nach dem d'Alembertschen Prinzip wird dies im beschleunigten Bezugssystem so beschrieben, dass eine Trägheitskraft (Scheinkraft) ${\vec {F}}_{t}=-m{\vec {a}}$ berücksichtigt wird. Wenn die Wirklinie der Kraft ${\vec {F}}_{1}$ nicht durch den Schwerpunkt geht, dann bilden ${\vec {F}}_{1}$ und ${\vec {F}}_{t}$ ein Kräftepaar, das ein Drehmoment erzeugt (obwohl im beschleunigten Bezugssystem die Summe aller Kräfte einschließlich der Trägheitskraft null ergibt!).

Die Beschreibung des gleichen Vorgangs im ruhenden System (Inertialsystem) kommt ohne Trägheitskräfte aus. Hier bewirkt ${\vec {F}}_{1}$ sowohl eine Beschleunigung als auch ein Drehmoment ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}_{1}$ und damit eine Winkelbeschleunigung (Beispiel: Anschneiden eines Balles durch seitliches Treten etc.).

Messung des Drehmoments

Drehmomentmesseinrichtungen

Unterschiedliches Auftreten des Drehmomentes

In der Technik ist es gebräuchlich, dem Drehmoment unterschiedliche Bezeichnungen zu geben, je nachdem in welchem Zusammenhang sie wirken:

Man unterscheidet je nach der Richtung, in der Leistung fließt, zweierlei Drehmomente:

Antriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine etwas antreibt und Leistung abgibt.
Abtriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine angetrieben wird und Leistung aufnimmt.

Antriebsmoment eines Motors (für Verbrennungsmotor siehe Link unten)
Abtriebsmoment eines Generators, eines Kompressors oder einer Pumpe
Antriebsmoment und Abtriebsmoment eines Getriebes
Anfahrmoment einer Gasturbine
Anzugsmoment einer Schraube
Drehmoment in der Propellerwelle eines Schiffes oder eines Motorflugzeugs.

Beispiel: Elektromotor

Datei:Kennlinie Asynchronmotor.JPG

Drehmomentkennlinie eines Standard-E-Motors

Der Asynchronmotor in der Ausführung als Kurzschlussläufer ist der am häufigsten verwendete Elektromotor. Das Bild zeigt das erzeugte Drehmoment in Abhängigkeit von der Drehzahl. Der normale Betriebsbereich ist rechts von den Kipppunkten K1 oder K2 auf der steil abfallenden Kurve. Der Bereich links von den Kipppunkten ist der Anlaufbereich, der immer möglichst schnell durchfahren werden muss. Im Anlaufbereich hat der E-Motor einen schlechten Wirkungsgrad und kann ohne Schutzmaßnahmen durchbrennen.

Beispiel: Drehmoment eines Verbrennungsmotors

Der bei Automobilen verwendete Begriff maximales Drehmoment eines Verbrennungsmotors bei einer bestimmten Drehzahl bezeichnet das maximale vom Motor an der Kurbelwelle abgegebene Drehmoment. Das an der Kurbelwelle bei Volllast (Vollgas) abgegebene Drehmoment ist nicht über den gesamten Drehzahlbereich des Motors konstant, sondern hat in einem bestimmten Bereich des nutzbaren Drehzahlbereiches ein Maximum.

Das Drehmoment M für Viertaktmotoren berechnet sich aus:

M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\cdot 2\pi }}

Hierbei ist V_h das Hubvolumen und p_e der effektive Mitteldruck, der Faktor 2π im Nenner stammt aus der Formel für die Arbeit eines Drehmoments, die entlang des Umfanges 2π verrichtet wird. Der Wert $2\pi$ wird bei Viertaktmotoren mit 2 multipliziert, da Viertaktmotoren nur bei jeder zweiten Umdrehung Arbeit verrichten. Für Zweitaktmotoren gilt entsprechend:

M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\pi }}

Rechenbeispiel für das Drehmoment eines Serienfahrzeuges mit 2000 cm³ (=0,002 m³) Hubvolumen, dessen Viertaktmotor bei einer Drehzahl von 2000 ¹/_min einen Mitteldruck von 22 Bar (=2.200.000 Pa; 1 Pa = 1 N/m²) erreicht, in SI-Einheiten gerechnet:

M={\frac {0{,}002m^{3\!\!\!/}\cdot 2.200.000{\frac {N}{m\!\!\!/^{2\!\!\!/}}}}{4\pi }}=350\,\mathrm {Nm}

Beispiel: Zusammenhang von Drehmoment und Leistung

Die Leistung bei einer Drehbewegung ergibt sich zu

P=M\cdot \omega

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ erhält man aus der Drehzahl $n$ gemäß $\omega =2\pi \ n$ . Damit ergibt sich für die Leistung

P=M\cdot 2\pi \ n

und für eine drehzahlabhängige Leistung

P(n)=M(n)\cdot 2\pi \ n

M(n) ist die für die untersuchte Maschine typische drehzahlabhängige Drehmomentkenngröße, die durch Messung erhalten wird.

Ein Verbrennungsmotor, der bei 2000 Umdrehungen pro Minute ein Drehmoment von 350 Nm abgibt, gibt somit bei dieser Drehzahl auch eine Leistung von

P=350\ \mathrm {Nm} \cdot 2\pi \ {\frac {2000}{60\ \mathrm {s} }}\approx 73{,}3\cdot 10^{3}\ {\frac {\mathrm {Nm} }{\mathrm {s} }}\approx 73\ \mathrm {kW}

ab.

Beispiel: Drehmoment eines Hydraulikmotors

Für die Leistung P gilt:

P=M\cdot \omega

Damit ergibt sich für das Drehmoment

M={\frac {P}{\omega }}={\frac {P}{2\pi \,{\frac {1}{T}}}}

mit der Periodendauer T, welche einer Umdrehung des Motors entspricht.

Die hydraulische Leistung P errechnet sich aus Druck p₁ und p₂ am Motoreingang bzw. Ausgang und q des geschluckten Ölvolumens pro Umdrehung (Periode T)

P=(p_{1}-p_{2})\cdot {\frac {q}{T}}

Die Formel der hydraulischen Leistung eingesetzt in obige Formel ergibt das Drehmoment

M={\frac {(p_{1}-p_{2})\cdot {\frac {q}{T}}}{2\pi \ {\frac {1}{T}}}}={\frac {(p_{1}-p_{2})\cdot q}{2\pi }}

Siehe auch

Weblinks