Kronecker-Produkt

Das Kronecker-Produkt (nach Leopold Kronecker) ist ein Begriff aus der Matrizenrechnung. Man geht aus von einer (mxn)-Matrix A = (a)_ij und einer (pxr)-Matrix B = (b)_kl. Das Kronecker-Produkt

$C=A\otimes B$

berechnet sich als

$C=(a)_{ij}\cdot B$.

Das Ergebnis ist also wieder eine Matrix, allerdings viel höherer Dimension. Beispielsweise ist

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&3\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}0&5&0&15&0&10\\5&0&15&0&10&0\\1&1&3&3&2&2\\0&5&0&0&0&0\\5&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\0&5&0&10&0&10\\5&0&10&0&10&0\\1&1&2&2&2&2\end{pmatrix}}$

Das Kronecker-Produkt wird beispielsweise in der verallgemeinerten linearen Regressionsanalyse verwendet, um eine Kovarianzmatrix von korrelierten Störgrößen zu konstruieren. Man erhält hier etwa eine blockdiagonale Zellnermatrix.