Tschebyschow-Funktion

Die Tschebyschow-Funktion, etwa im Englischen auch Chebyshev-Funktion oder ähnlich bezeichnet, ist eine von zwei zahlentheoretischen Funktionen, die nach dem russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt sind.

Die erste Tschebyschow-Funktion, üblicherweise mit $\theta \,$ oder $\vartheta$ bezeichnet, ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis $x$:

$\vartheta (x)=\sum _{p\leq x \atop p{\text{ prim}}}\operatorname {log} (p)$

Die zweite Tschebyschow-Funktion $\psi (x)$ ist die summierte Funktion der Mangoldt-Funktion:

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{x}\Lambda (n)=\sum _{p^{k}\leq x}\operatorname {log} (p)$

wobei die Mangoldt-Funktion $\Lambda$ definiert ist als

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&{\text{falls }}n{\text{ sich als }}n=p^{k}{\text{ darstellen }}\mathrm {l{\ddot {a}}sst,} {\text{ wobei }}p{\text{ prim, }}k\in \mathbb {N} ^{+}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Grundlegende Eigenschaften

Erstere Tschebyschow-Funktion lässt sich auch darstellen als

$\vartheta (x)=\operatorname {log} (x_{\#}),$

wobei $x_{\#}$ die Primfakultät bezeichnet.

Die zweite lässt sich auch schreiben als der Logarithmus des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 1 bis $n$:

$\psi (x)=\operatorname {log} (\operatorname {kgV} (1,2,3,\ldots ,\lfloor x\rfloor ))$

Nach Erhard Schmidt gibt es für jedes positive reelle $k$ gibt es Werte für $x$, sodass

$\psi (x)-x<-k{\sqrt {x}}$

und

$\psi (x)-x>k{\sqrt {x}}$

unendlich oft.

Asymthotik

Es gilt

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x}{\vartheta (x)}}=1,$

d.h.

$\vartheta (n)\sim n.$

Ebenso gilt

$\psi (n)\sim n.$

Pierre Dusard fand eine Reihe von Schranken für die beiden Funktionen:

$\vartheta (p_{k})\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2{,}0553}{\ln k}}\right),\qquad k\geq \exp(22)$

$\vartheta (p_{k})\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right),\qquad k\geq 198$

$\psi (p_{k})\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)+1{,}43{\sqrt {x}},\qquad k\geq 198$

$|\vartheta (x)-x|\leq 0{,}006788{\frac {x}{\ln x}},\qquad x\geq 10{.}544{.}111$

$|\psi (x)-x|\leq 0{,}006409{\frac {x}{\ln x}},\qquad x\geq \exp(22)$

$\psi (x)-\vartheta (x)<0{,}0000132{\frac {x}{\ln x}},\qquad x\geq \exp(30).$

Verwandtschaft der beiden Funktionen

Es gilt

$\psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p$

wobei $k$ ganz und dann durch $p^{k}\leq x$ und $p^{k+1}\geq x$ eindeutig bestimmt ist.

Ein direkterer Zusammenhang entsteht durch

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta (x^{\frac {1}{n}})=\sum _{n=1}^{\lfloor \log _{2}(x)\rfloor }\vartheta (x^{\frac {1}{n}}).$

Man bemerke, dass $\vartheta (x^{\frac {1}{n}})=0$ für $n\geq \log _{2}(x).$

Die "exakte Formel"

1895 bewies Hans Karl Friedrich von Mangoldt folgende Formel, die im Englischen auch als "explicit formula" bezeichnet wird:

$\psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\mathrm {ln} (2\pi )-{\frac {1}{2}}\mathrm {ln} \left(1-x^{-2}\right)$

Dabei ist $x>1$ und nicht prim oder eine Primzahlpotenz und die Summe läuft über alle nichttrivialen Nullstellen $\rho \,$ der Riemannschen Zeta-Funktion $\zeta$.

Referenzen

• Eric W. Weisstein: Chebyshev Function. In: MathWorld (englisch).
• Mangoldt Summatory Function und Chebyshev Function auf PlanetMath
• Harold Davenport, Hugh L. Montgomery: Multiplicative number theory. Springer Verlag ³2000, ISBN 0387950974, 9780387950976. §. 17. GBS, eingeschränkt

Wikiversity: Zahlentheorie 12 – Kursmaterialien