Kreis

M Mittelpunkt, r Radius, d Durchmesser

In der Geometrie

ist ein Kreis definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene E, die einen konstanten Abstand r von einem Punkt M haben:

$k=\{X\in E\mid {}{\overline {MX}}=r\}$

Der Abstand r wird als Radius bezeichnet, der Punkt M als Mittelpunkt. Der doppelte Radius heißt Durchmesser d.

In der Mathematik ist ein Kreis nach obiger Definition eine Linie und keine Fläche. Ist die gesamte Fläche, und nicht nur die Begrenzungslinie, gemeint, muss man von einer Kreisscheibe (oder Kreisfläche) sprechen.

Zur Konstruktion eines Kreises verwendet man einen Zirkel

In der analytischen Geometrie

kann ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(x_m|y_m) und dem Radius r (in der Ebene) mit folgender Gleichung, die direkt aus der Definition folgt, dargestellt werden:

$(x-x_{m})^{2}+(y+y_{m})^{2}=r^{2}$

Als Kegelschnitt ist der Kreis ein Spezialfall der Ellipse.

Will man den Umfang u eines Kreises berechnen, benötigt man die transzendente Zahl pi (π ≈ 3,14159), welche ihrerseits als Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises definiert ist. Da alle Kreise ähnlich sind, ist dieses Verhältnis konstant.

$u=2r\pi$

Die Fläche A einer Kreisscheibe lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$A=r^{2}\pi$

Die Flächenformel kann man zum Beispiel durch Integrieren der Kreisgleichung oder durch Einteilung des Kreises in unendlich viele Dreiecke beweisen. (Siehe hierzu Kreisfläche).

Besondere Geraden am Kreis

Eine Gerade, die einen Kreis (zwei Mal) schneidet wird Sekante genannt. Eine berührende Gerade heißt Tangente. Sie steht senkrecht (orthogonal) auf einen Radius des Kreises. Eine Gerade, die keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat, heißt Passante. Der Abschnitt der Sekante, der innerhalb des Kreises liegt, heißt Sehne. Die längste Sehne, die auch durch dem Mittelpunkt geht, ist der Durchmesser. Ein Segment des Kreises, das durch zwei Radien begrenzt wird, heißt Kreisbogen.

Das Winkelmaß Bogenmaß (Arcus) ist als Verhältnis zwischen der Länge des Kreisbogens, den zwei Radien, die im angegebenen Winkel aufeinander stehen, einschließen, und dem Radius definiert. Die trigonometrischen Winkelfunktionen können im Einheitskreis (ein Kreis mit Radius 1) definiert werden.

Wendet man die Definition des Kreises im Raum an, erhält man eine Kugel.

Geometrische Sätze rund um dem Kreis

• Thaleskreis, Peripheriewinkelsatz
• Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises (Tangentensatz, Sekantensatz)

Siehe auch

• Einheitskreis
• Ideal, Kurve
• Umkreis, Inkreis
• Erdkreis, Erdkugel, Meridian
• Polarkoordinaten, Polarsystem
• Kegelschnitt, Kepler, Kreisbahn
• Kugel, Rundheit
• analytische Geometrie, Berührbedingung, Schnitt, Spaltform
• Sehnenviereck, Tangentenviereck
• Quadratur des Kreises
• Kreisberechnung