Fünfeck

Ein Fünfeck (griech. pentagon) ist ein geometrisches Objekt. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (= Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert.

Mathematische Zusammenhänge

Sofern nichts anderes gesagt wird, ist meist von einem ebenen Fünfeck die Rede. Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt. Die Summe seiner Innenwinkel beträgt stets 540° und ergibt sich aus der Formel:

$\sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$

Der Winkel im ebenen Fünfeck beträgt

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }$

Reguläres Fünfeck

Formel für die Flächenberechnung

Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge a ist das Fünffache der von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Ecken aufgespannten Dreiecks.

$A=5\cdot {\frac {1}{2}}\cdot a\cdot \tan 54^{\circ }\cdot {\frac {a}{2}}={\frac {5}{4}}\cdot a^{2}\cdot \tan 54^{\circ }$

Allgemein mit dem Umkreisradius r_u

$A={\frac {5}{8}}\cdot r_{u}^{2}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$

Geometrie des Fünfecks

Verschachteltes Pentagramm

Das reguläre Fünfeck besitzt einen Innenwinkel von 108° (siehe Grafik). Die Ebene lässt sich nicht mit regulären Fünfecken lückenlos und überdeckunsfrei bedecken. Jedoch lässt sich aus 12 regulären Fünfecken im Raum ein reguläres Dodekaeder aufspannen.

Die Diagonalen des Fünfecks bilden das Pentagramm (fünfzackiger Stern), in dessen Inneren sich wiederum ein - kopfstehendes - regelmäßiges Fünfeck befindet, welches seinerseits ein kopfstehendes Pentagramm beinhaltet. Dieses Muster kann in beide Richtungen (nach innen und außen) unendlich weitergeführt werden.

Der spitze Winkel im "Zacken" des Pentagramms misst 36°, also ein Drittel des 108°-Winkels des Fünfecks. Diese 108° finden sich ihrerseits im stumpfen Außenwinkel des Pentagramms wieder, so dass auch hier weitere Fünfecke gebildet werden können, was dann ein sehr komplexes Muster ergeben kann.

siehe auch: Arabesken

Der Goldene Schnitt im Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seiner Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit dem Zirkel

Konstruktion eines Fünfecks in einem umschließenden Kreis

Die Erläuterung zu nebenstehender Abbildung (Bild anklicken zeigt Vergrößerung; die Farben dienen zur besseren Veranschaulichung).

1. Einen Kreis mit beliebigem Radius r um den Mittelpunkt M schlagen (blau) und die Mittelsenkrechten (rot) einzeichnen.
2. Einer der 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit dem Kreis wird als A bezeichnet.
3. Mit dem selben Radius r um A einen weiteren Kreis (gelb) schlagen, der den anderen zweifach schneidet.
4. Die Schneidepunkte der beiden Kreise ergeben die Punkte B und C.
5. Die Gerade BC zeichnen, sie schneidet die Gerade AM im Punkt D.
6. Den Kreis (grün) um D mit Radius (DE) zeichnen, er schneidet die Gerade AM im Punkt F.
7. Der Kreis (orange) um E mit Radius (EF) schneidet den blauen Kreis in G (und J, der nicht eingezeichnet ist)
8. (Mit 2 weiteren Kreisen um G und J können die nicht eingezeichneten fehlenden Eckpunkte H und I konstruiert werden.)

Die Strecke E bis F entspricht der Seitenlänge des zu konstruierenden Fünfecks.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit dem Zirkel und einem vorgegebenem Schenkel

Diese Anleitung funktioniert am besten bei groesseren Fünfecken, warum dies so ist, wird am Ende erläutert

1. Eine Gerade mit beliebiger Laenge (g) zeichnen.
2. Von der Gerade 83 1/3% der Laenge berechnen. (r)
3. Mit dem Zirkel von beiden Enden der Gerade aus je einen Kreis mit dem errechneten Radius r zeichnen.
4. Um den Punkt wo sich beide Kreise schneiden einen weiteren Kreis mit dem Radius r zeichnen.
5. An beiden Enden der Gerade je einen Kreis zeichnen mit der Laenge g.
6. Je bis zum Schnittpunkt eines g- und des Aussenkreises das Fünfeck erweitern.

Aufgrund der Tatsache das es meist unmöglich ist (ausser bei g = 3cm; r=2,5cm ) einen Zirkel auf den errechneten Radius einzustellen, sollte man diese Methode nur bei Fünfecken verwenden die mindestens einen Meter Durchmesser haben. Als Zirkel ersatz wuerde eine ausreichend lange Schnur, ein Bleistift und ein Nagel dienen. Diese Methode erscheint mir bei grossen Fünfecken weit aus schneller als die weiter oben.

Bedeutung des Fünfecks im Festungsbau

Der Grundriss einer neuzeitlichen bastionierten Festung hat sehr häufig die Form eines Fünfeckes. Die Ursache dafür liegt in der Tatsache, dass sich eine so geformte Festung besonders leicht mit Feuerwaffen verteidigen lässt. Anschauliche Beispiele sind die vollständig erhaltene Festung Bourtange in den Niederlanden und die nur noch teilweise vorhandene Zitadelle der Festung Wesel.
Auch das Pentagon nutzt das Fünfeck als Grundriss und spielt damit auf diesen alten Grundsatz der Konstruktion von Festungen an. (Bei den bis zum 11. September 2001 möglichen Pentagonführungen wurde ein anderer Grund für die Formwahl genannt: Das Pentagon sollte ursprünglich an anderer Stelle errichtet werden und die Form war durch die 5 um das vorgesehene Grundstück verlaufende Straßen vorgegeben. Allerdings konnte am vorgesehenen Platz nicht gebaut werden und weil man in Zeitnot war, wurden der Einfachheit halber die Pläne nicht mehr geändert.)