Fourier-Transformation

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Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Form der Fourier-Transformation (FT), die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Vorgänge in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier-Transformation bezeichnet.

Definition

Sei $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ eine integrierbare Funktion. Die (kontinuierliche) Fourier-Transformierte ${\mathcal {F}}(f)$ von $f$ ist definiert durch

${\mathcal {F}}(f)(t)={\frac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-\mathrm {i} tx}\,\mathrm {d} x.$

Beispiel

Als Beispiel soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

$f(t)=x_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot \cos(\omega _{s}t)\Theta (t)$

oder in komplexer Schreibweise:

$f(t)=x_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot {\frac {1}{2}}(e^{\mathrm {i} \omega _{s}t}+e^{-\mathrm {i} \omega _{s}t})\Theta (t)$

Hier ist $x_{0}$ die Amplitude und $\omega _{s}$ die Kreisfrequenz der Schwingung, $\tau$; die Zeit nach der die Amplitude auf $1/e$ abgefallen ist und $\Theta (t)$ die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

${\mathcal {F}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t$

$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot {\frac {1}{2}}(e^{\mathrm {i} \omega _{s}t}+e^{-\mathrm {i} \omega _{s}t})\Theta (t)\cdot e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t$

$={\frac {x_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot {\frac {1}{2}}(e^{\mathrm {i} \omega _{s}t}+e^{-\mathrm {i} \omega _{s}t})\cdot e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t$

$={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-t({\frac {1}{\tau }}-\mathrm {i} (\omega _{s}-\omega ))}+e^{-t({\frac {1}{\tau }}+\mathrm {i} (\omega _{s}+\omega ))}\,\mathrm {d} t$

$={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left[-{1 \over {\frac {1}{\tau }}-\mathrm {i} (\omega _{s}-\omega )}e^{-t({\frac {1}{\tau }}-\mathrm {i} (\omega _{s}-\omega ))}-{1 \over {\frac {1}{\tau }}+\mathrm {i} (\omega _{s}+\omega )}e^{-t({\frac {1}{\tau }}+\mathrm {i} (\omega _{s}+\omega ))}\right]_{0}^{\infty }$

$={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left({1 \over {\frac {1}{\tau }}-\mathrm {i} (\omega _{s}-\omega )}+{1 \over {\frac {1}{\tau }}+\mathrm {i} (\omega _{s}+\omega )}\right)$

$={\frac {x_{0}}{\sqrt {2\pi }}}{{\frac {1}{\tau }}+\mathrm {i} \omega \over ({\frac {1}{\tau }}+\mathrm {i} \omega )^{2}+\omega _{s}^{2}}.$

Eigenschaften

Stetigkeit

Die Fourier-Transformation ${\mathcal {F}}$ ist ein stetiger linearer Operator von $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ nach $C_{0}(\mathbb {R} ^{n})$. Mit $C_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für $x\to \pm \infty$, d.h. im Unendlichen, verschwinden. Außerdem gilt die Ungleichung

$\|{\mathcal {F}}(f)\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}}}\|f\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Rücktransformationsformel

Sei $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ eine integrierbare Funktion derart, dass auch ${\mathcal {F}}(f)\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ gilt. Dann gilt die Rücktransformation

${\mathcal {F}}^{-1}(F)(x)=f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}(t)e^{\mathrm {i} tx}\,\mathrm {d} t.$

Diese wird auch Fouriersynthese genannt. Der Schwartz-Raum $S(\mathbb {R} ^{n})$ ist ein Teilraum von $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, auf welchem die Fouriertransformation ein Automorphismus ist. Mittels Dichheitsargumente lässt sich diese Aussage sogar auf $L^{2}$ übertragen. Die Fouriertransformation ist also sogar ein Automorphismus auf $L^{2}$.

Wichtige Fourier-Transformations-Paare

Hier eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare. $G$ und $H$ sind die Fouriertransformierten der Funktionen $g(t)$ bzw. $h(t)$.

	Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
	$g(t)\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}\mathrm {d} \omega \,$ $=\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm {d} f\,$	$G(\omega )\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}\mathrm {d} t\,$	$G(f)\!\equiv$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t\,$
1	$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega )+b\cdot H(\omega )\,$	$a\cdot G(f)+b\cdot H(f)\,$	Linearität
2	$g(t-a)\,$	$e^{-ia\omega }G(\omega )\,$	$e^{-i2\pi af}G(f)\,$	Zeitverschiebung
3	$e^{iat}g(t)\,$	$G(\omega -a)\,$	$G\left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)\,$	Frequenzverschiebung (Äquivalent zu Nr. 2)
4	$g(at)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {f}{a}}\right)\,$
5	$G(t)\,$	$g(-\omega )\,$	$g(-f)\,$	Dualität der Fouriertransformation durch Vertauschung der Variablen $t\,$ und $\omega \,$.
6	${\frac {\mathrm {d} ^{n}g(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\,$	$(i\omega )^{n}G(\omega )\,$	$(i2\pi f)^{n}G(f)\,$
7	$t^{n}g(t)\,$	$i^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}G(\omega )}{\mathrm {d} \omega ^{n}}}\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}G(f)}{\mathrm {d} f^{n}}}\,$	Äquivalent zu Nr. 6
8	$(g*h)(t)\,$	${\sqrt {2\pi }}\,G(\omega )H(\omega )\,$	$G(f)H(f)\,$	$g*h\,$ bedeutet die Faltung von $g\,$ mit $h\,$
9	$g(t)h(t)\,$	$(G*H)(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,$	$(G*H)(f)\,$	Äquivalent zu Nr. 8
Quadratisch integrierbare Funktionen
	Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
	$g(t)\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}\mathrm {d} \omega \,$ $=\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm {d} f\,$	$G(\omega )\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}\mathrm {d} t\,$	$G(f)\!\equiv$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t\,$
10	$\exp \left(-{\frac {at^{2}}{2}}\right)\,$	${\frac {1}{\sqrt {a}}}\cdot \exp \left(-{\frac {\omega ^{2}}{2a}}\right)$	${\begin{matrix}{\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}\end{matrix}}\exp \left(-{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{a}}\end{matrix}}\cdot \pi f^{2}\right)$	Die Gaußsche Funktion $\exp(-t^{2}/2)$ ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss $\mathrm {Re} (a)>0$ sein.
11	$\mathrm {rect} (at)\,$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}|a|}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \mathrm {sinc} \left(\pi \ {\frac {f}{a}}\right)$	Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion.
12	$\mathrm {sinc} (at)\equiv {\frac {\mathrm {sin} (at)}{at}}\,$	${\frac {1}{|a|}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2a}}\right)$	${\frac {\pi }{|a|}}\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {\pi }{a}}f\right)$	Äquivalent zu Nr. 11. Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die sinc-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
13	$\exp \left(-a|t|\right)$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {a}{\omega ^{2}+a^{2}}}$	${\frac {2a}{(2\pi f)^{2}+a^{2}}}$	$a>0$. Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve.
14	${\frac {1}{t^{2}+a^{2}}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{a}}\exp \left(-a|\omega |\right)$	${\frac {\pi }{a}}\exp \left(-2\pi a|f|\right)$	Äquivalent zu Nr. 13.
Distributionen
	Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
	$g(t)\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}\mathrm {d} \omega \,$ $=\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm {d} f\,$	$G(\omega )\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}\mathrm {d} t\,$	$G(f)\!\equiv$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t\,$
15	$1\,$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )\,$	$\delta (f)\,$	$\delta (\omega )$ bezeichnet die Delta-Distribution.
16	$\delta (t)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,$	$1\,$	Äquivalent zu Nr. 15.
17	$e^{iat}\,$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)\,$	$\delta (f-{\frac {a}{2\pi }})\,$	Folgt aus Nr. 3 und 15.
18	$\cos(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega \!-\!a)\!+\!\delta (\omega \!+\!a)}{2}}\,$	${\frac {\delta (f\!-\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})\!+\!\delta (f\!+\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})}{2}}\,$	Folgt aus Nr. 1 und 17
19	$\sin(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega \!-\!a)\!-\!\delta (\omega \!+\!a)}{2i}}\,$	${\frac {\delta (f\!-\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})\!-\!\delta (f\!+\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})}{2i}}\,$
20	$t^{n}\,$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(f)\,$	Hier ist $n$ eine Natürliche Zahl. $\delta ^{n}(\omega )$ bezeichnet die $n$-te Ableitung der Delta-Distribution.
21	${\frac {1}{t}}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	$-i\pi \cdot \operatorname {sgn}(f)\,$
22	${\frac {1}{t^{n}}}\,$	$-i{\begin{matrix}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\end{matrix}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	$-i\pi {\begin{matrix}{\frac {(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}}\end{matrix}}\operatorname {sgn}(f)\,$
23	$\operatorname {sgn}(t)\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\ \omega }}\,$	${\frac {1}{i\pi f}}\,$
24	$\Theta (t)\,$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)\,$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi f}}+\delta (f)\right)\,$	$\Theta (t)$ ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).
25	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\,$	${\begin{matrix}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\end{matrix}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{T}}\end{matrix}}\right)\,$	${\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\,$

Fourier-Transformation von Maßen

Die Fourier-Transformation wird allgemein für endliche Borel-Maße auf $\mathbb {R} ^{n}$definiert:

${\check {\mu }}(x)=\int e^{\langle x,y\rangle }\mu (dy)$

heißt inverse Fourier-Transformierte des Maßes $\mu$ (wobei ${\langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das Skalarprodukt bezeichnet.) Die charakteristische Funktion ist dann die inverse Fourier-Transformierte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.