Kreisteilungspolynom

Unter dem $n$-ten Kreisteilungspolynom versteht man dasjenige Polynom größten Grades mit Leitkoeffizient 1, das $X^{n}-1$ teilt, jedoch zu allen $X^{d}-1$ mit $d<n$ teilerfremd ist. Seine Nullstellen sind genau die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln $\exp(2\pi ik/n)$, wobei $k$ die zu $n$ teilerfremden Zahlen zwischen $1$ und $n$ durchläuft. Die Bezeichnung "Kreisteilungspolynom" stammt vom geometrischen Problem der Kreisteilung, also der Konstruktion eines regelmäßigen Vielecks mit Zirkel und Lineal.

Eigenschaften

Wir notieren das $n$-te Kreisteilungspolynom mit $\Phi _{n}$.

Zerlegung in Linearfaktoren ergibt

$\Phi _{n}=\prod _{1\leq k\leq n;\gcd(k,n)=1}(X-\exp(2\pi ik/n)).$

Daher ist der Grad von $\Phi _{n}$ gleich $\phi (n)$, der Anzahl der zu $n$ teilerfremden Zahlen unterhalb $n$. Die hierdurch definierte Funktion $\phi$ hat als Eulersche Phi-Funktion in der Zahlentheorie eine erhebliche Bedeutung.

Umgekehrt gilt die Produktdarstellung $X^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}.$

Das n-te Kreisteilungspolynom ist irreduzibel und damit Minimalpolynom jeder primitiven n-ten Einheitswurzel. Damit ist der Restklassenring $\mathbb {Q} [X]/\Phi _{n}(X)$ ein Körper, und zwar der kleinste Körper, für den man den Einheitskreis in der komplexen Ebene so in $n$ gleichlange Teile zerlegen kann, dass alle Unterteilungspunkte zu dem Körper gehören. Man nennt diesen Körper daher auch Kreisteilungskörper.

Verallgemeinerung

Der Begriff des Kreisteilungspolynoms kann auf die Einheitswurzeln über einem beliebigen Körper verallgemeinert werden. Auf diese Weise ergeben sich insbesondere alle endlichen Körper als Kreisteilungskörper über ihrem Primkörper.