Holonom

Holonom (grch.: "ganz gesetzlich") bzw. das Gegenteil nicht-holonom sind Eigenschaften von mechanischen Systemen. Ein holonomes System von Körpern zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus: die Lage der Körper lässt sich durch n generalisierte Koordinaten q₁, q₂ ... q_n beschreiben,

• die gänzlich unabhängig voneinander sind, oder
• die durch m < n Bedingungen

$a_{i}(q_{1},q_{2}...q_{n},t)=0;i\in [1,m]$

verbunden sind.

Enthält mindestens eine der Bedingungen a_i eine oder mehrere Geschwindigkeitskoordinaten (zeitliche Ableitung der generalisierten Koordinaten), ist also von der Form

$a_{i}(q_{1},q_{2}...q_{n},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2}...{\dot {q}}_{n},t)=0$

und lassen sich die Geschwindigkeitskoordinaten nicht durch Integration eliminieren, so ist das System nicht-holonom.

Beispiel für ein nicht-holonomes System

Rad in Ebene (Draufsicht)

Das Rad eines Fahrzeuges rollt ohne zu Gleiten auf einer ebenen Fläche. Die Unabhängigkeit der Koordinaten x, y, φ ist durch folgende nicht-integrable Bedingung eingeschränkt:

${\dot {x}}\cos \varphi +{\dot {y}}\sin \varphi =0$

Während jede Konstellation des Systems mit den beliebig gewählten Koordinaten x, y und φ zulässig ist (3 Freiheitsgrade "im Großen"), gibt es beim Übergang von einer Konstellation zur infinitesimal benachbarten eine Einschränkung durch obige nicht-holonome Bedingung. Es existieren "im Kleinen" nur 2 Freiheitsgrade.

Noch deutlicher wird dieser Umstand, wenn wir den Sachverhalt auf ein vierrädriges Fahrzeug mit Vorderradlenkung übertragen: Auch wenn eine Parklücke ausreichend Platz für das Fahrzeug bietet, kann es unmöglich sein, hineinzugelangen.

Siehe auch

• Holonomie