Einheitskreis

In der Mathematik ist der Einheitskreis der Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems (Koordinaten (0|0)) der Ebene übereinstimmt.

Trigonometrische Zusammenhänge

Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis (Animation)

Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis

Liegt ein Punkt P auf dem Einheitskreis, dann kann man einen Winkel α zu der x-Achse (Abszisse) definieren, unter dem P vom Mittelpunkt (Ursprung) aus gesehen wird. Für die Koordinaten von P (x_p|y_p) gilt dann $y_{p}=\sin \alpha$, $x_{p}=\cos \alpha$ und $y_{p}/x_{p}=\tan \alpha$

Unter Zuhilfenahme der Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck lassen sich folgende Zusammenhänge aufstellen:

$\sin \alpha ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}$

$\cos \alpha ={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}$

$\tan \alpha ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$

$\cot \alpha ={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}}$

Die orientierte Länge der Tangente, die normal auf die x-Achse an den Kreis liegt, bis zum Scheitelpunkt des Winkels ist der Tangens von α.

Der Einheitskreis kann auch über die Eulersche Identität

$e^{i\varphi }=\cos \left(\varphi \right)+i\sin \left(\varphi \right)$

dargestellt werden.

Andere Normen

Wird eine andere Norm als die euklidische Norm zur Abstandsmessung benutzt, so ist die Form des Einheitskreises im kartesischen Koordinatensystem eine andere. So ist zum Beispiel der Einheitskreis für die Maximumnorm das Einheitsquadrat mit zu den Koordinatenachsen parallelen Seiten. Für die Betragssummennorm ist es ein auf die Spitze gestelltes Quadrat.

Siehe auch

• Trigonometrische Funktion
• Normierter Raum
• Sphäre (Mathematik)

Weblinks

• 

  Wikibooks: Trigonometrie (Schulmathematik) – Lern- und Lehrmaterialien
• Winkelfunktionen am Einheitskreis
• GonioLab — Visualisierte Trigonometrie