Gradient (Mathematik)

Der Gradient oder Nablavektor ist in der mehrdimensionalen Analysis und der Vektorrechnung eine Vektor-wertige Funktion eines Skalarfeldes, die die Änderungsrate und die Richtung der größten Änderung angibt. Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der Ableitung für Funktionen in mehreren Variablen.

Beispiel

Betrachte zum Beispiel die Höhenkarte eines Hügels. Diese ist eine Abbildung z(x, y), die jeder Koordinate die Höhe an dieser Stelle zuordnet (ein Skalarfeld). Der Gradient von z an einer Stelle (x, y) ist ein Vektor, der in die Richtung zeigt, in der es am steilsten hinauf geht. Die Länge dieses Vektors hängt davon ab, wie steil der Anstieg in dieser Richtung ist.

Darstellung als Vektorfeld

Für ein vorgegebenes Skalarfeld ist der Gradient ein Vektorfeld, bei dem alle Vektoren in Richtung höherer Werte zeigen, wobei die Länge gleich der Änderungsrate der Werte ist.

Datei:Gradient1.jpg

Formale Definition

Der Gradient eines Skalarfeldes $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ist $\nabla \varphi$ Dabei ist $\nabla$ der Nabla-Operator. Eine weitere übliche Schreibweise für Gradient ist die mit dem Differentialoperator grad: $\mathrm {grad} \varphi$.

Es handelt sich dabei um die Abbildung eines Skalars auf einen Vektor. Formal mathematisch ist der Gradient einer Funktion von mehreren Variablen definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen. Geschrieben wird das im kartesischen Koordinatensystem:

$grad\,\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}=\nabla \varphi$

Allgemein ist

$\mathrm {grad} \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\nabla \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}\cdot {\vec {e}}_{x_{1}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\cdot {\vec {e}}_{x_{n}}\end{pmatrix}}$

Der Gradient ist der Vektor der partiellen Ableitungen des Skalarfeldes. Er existiert also nur an den Stellen, an denen es in alle Koordiantenrichtungen partiell differenzierbar ist.

Ob der Gradient ein Zeilenvektor oder ein Spaltenvektor ist, hängt vom Verwendungszweck ab und differiert von Autor zu Autor.

Eigenschaften

Der Gradient gibt die Änderungsrate und die Richtung der größten Änderung des Skalarfeldes an. Er ist damit eine vektorwertige Funktion eines Skalarfeldes und eine Verallgemeinerung der Ableitung für Funktionen in mehreren Variablen.

Des weiteren gilt:

• $\mathrm {grad} \,\varphi$ hat die Richtung der Normalen der jeweiligen Niveaufläche $\varphi =const$
• $\mathrm {grad} \,\varphi$ ist in der Richtung wachsender Funktionswerte von $\varphi$ orientiert
• $\left|\mathrm {grad} \,\varphi \right|={\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {n}}}}$, das heißt der Betrag von $\mathrm {grad} \,\varphi$ stimmt mit der Richtungsableitung der Funktion $\varphi$ in Normalenrichtung überein.

Rechenregeln

Rechenregeln (c: Konstante; u und v: Skalarfelder):

• $\mathrm {grad} \,c={\vec {0}}$
• $\mathrm {grad} \,(c\cdot u)=c\cdot \mathrm {grad} \,u$
• $\mathrm {grad} \,(u+v)=\mathrm {grad} \,u+\mathrm {grad} \,v$
• $\mathrm {grad} \,(u\cdot v)=u\cdot \mathrm {grad} \,v+v\cdot \mathrm {grad} \,u$

Verallgemeinerung

Der Vektor der partiellen Ableitungen kann auch allgemeiner für vektorwertige Funktionen definiert werden. Ist F: Rⁿ → R^m eine vektorwertige Funktion, dann seien F₁, ..., F_m ihre Komponentenfunktionen, d.h.

F(x₁, ..., x_n) = (F₁(x₁, ..., x_n), ..., F_m(x₁, ..., x_n)).

Man definiert dann die Ableitung von F als (Spalten-)Vektor der (Zeilenvektor-)Gradienten der F_i:

$\nabla \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\nabla F_{1}\\\vdots \\\nabla F_{m}\end{pmatrix}}$

Mit dieser Verallgemeinerung definiert man die zweite Ableitung eines Skalarfeldes, seine Hesse-Matrix:

$\operatorname {H} (\varphi )=\nabla \nabla \varphi =\left(\partial ^{2}\varphi /\partial x_{i}x_{j}\right)_{i,j}$

Anwendung

Vollständiges oder totales Differential eines Skalarfeldes

$\partial \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}dz=\mathrm {grad} \,\varphi \;d{\vec {r}}\qquad d{\vec {r}}={\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}$

siehe auch:

• Divergenz (Mathematik)
• Rotation (Mathematik).