Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die natürlichen Zahlen n = 0, 1, 2, ... die Wahrscheinlichkeiten

$P_{\lambda }(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}{\rm {e}}^{-\lambda }$

zuordnet.

(e ist die Eulersche Zahl; e^x steht somit für die Exponentialfunktion; n! bezeichnet die Fakultät von n.)

Die Verteilungsfunktion F(x) lautet:

$F_{\lambda }(n)=\sum _{0\leq k\leq n}P_{\lambda }(k)=e^{-\lambda }\sum _{0\leq k\leq n}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$

Siméon Denis Poisson (1781-1840) veröffentlichte 1837 diese Verteilung zusammen mit seiner Wahrscheinlichkeitstheorie in dem Werk "Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et en matière civile".

Herleitung der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung lässt sich aus der Binomialverteilung herleiten. Sie ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung für $n\rightarrow \infty$ und für $p\rightarrow 0$, wobei zusätzlich angenommen wird, dass das Produkt $np=\lambda$ konstant ist. $\lambda$ stellt gleichzeitig den Erwartungswert der Poisson-, bzw. der Binomialverteilung dar.

Mit $p={\frac {\lambda }{n}}$ ist die Poisson-Verteilung der Grenzwert:

$\lim _{n\to \infty }P(X=k)=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}$

$=\lim _{n\to \infty }\left({{(n-k)!\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)(n-1)n} \over {(n-k)!n^{k}}}\right)\left({{\lambda }^{k} \over k!}\right)\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{-k}$

$=\lim _{n\to \infty }{\begin{matrix}\\\underbrace {\left({n \over n}\right)\left({n-1 \over n}\right)\left({n-2 \over n}\right)\cdots \left({n-k+1 \over n}\right)} \\{=1}\end{matrix}}{\begin{matrix}\\\underbrace {\left({\lambda ^{k} \over k!}\right)} \\={\lambda ^{k} \over k!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\\\underbrace {\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}} \\={e^{-\lambda }}\end{matrix}}{\begin{matrix}\\\underbrace {\left(1-{\lambda \over n}\right)^{-k}} \\{=1}\end{matrix}}$

$={\lambda ^{k}e^{-\lambda } \over k!}.$

Anwendung

Die Poisson-Verteilung ist eine typische Verteilung für die Zahl von Phänomenen, die innerhalb einer Einheit auftreten.

So wird sie häufig dazu benutzt, zeitliche Ereignisse zu beschreiben. Gegeben sind ein zufälliges Ereignis, das durchschnittlich einmal in einem zeitlichen Abstand t₁ stattfindet und ein Zeitraum t₂.
Die Poissonverteilung P_λ(n) mit λ = t₂/t₁ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass im Zeitraum t₂ genau n Ereignisse stattfinden. Anders ausgedrückt ist λ die Wahrscheinlichkeit für das mittlere Auftreten eines Ereignisses in einem Intervall.

Beispiele für poissonverteilte Zufallsvariablen:

Beispiel 1

• Ein Kaufhaus wird an einem Samstag durchschnittlich alle 10 Sekunden (t₁) von einem Kunden betreten. P₆(n) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass in der nächsten Minute (t₂) genau n Kunden das Kaufhaus betreten. λ = 60/10 = 6. Anders ausgedrückt: in einer Minute betreten im Mittel 6 Personen das Kaufhaus.

P6(n)
n	Wahrscheinlichkeit in %	Summe in %
0	0,25	0,25
1	1,49	1,74
2	4,46	6,20
3	8,92	15,12
4	13,39	28,51
5	16,06	44,57
6	16,06	60,63
7	13,77	74,40
8	10,33	84,72
9	6,88	91,61
10	4,13	95,74
11	2,25	97,99
12	1,13	99,12
13	0,52	99,64
14	0,22	99,86
15	0,09	99,95

Mit einer Wahrscheinlichkeit von fast 7% betreten genau 9 Personen in einer Minute das Kaufhaus. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 92% treten 9 Personen, oder 8, oder 7.. oder keine Person ein. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 9 Personen in einer Minute eintreten, ist folglich 8% .

Beispiel 2

In der Natur folgt zum Beispiel die zeitliche Abfolge radioaktiver Zerfälle einzelner Atome der Poisson-Statistik.

Beispiel 3

Die Zahl der Spargelköpfe in einer Dose mit Spargelabschnitten ist annähernd poissonverteilt mit dem Parameter 10, wenn im Durchschnitt in einer Dose 10 Spargelköpfe sind. Eine bessere Näherung in diesem Fall ergibt die Binomialverteilung, da die Maximalzahl von Spargelköpfen nach oben begrenzt ist.

Beispiel 4

Die Blitzhäufigkeit in Deutschland beträgt 10 Einschläge pro km² = 0,1 Einschläge pro ha und Jahr. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Blitzeinschlags in einer Parzelle von 1 ha?

λ=0,1 Einschläge pro Hektar und Jahr.

P_0,1(0) (kein Einschlag pro Jahr): 90%

P_0,1(1) (ein Einschlag pro Jahr): 9%

P_0,1(2) (zwei Einschläge pro Jahr): 0,5%

P_0,1(3) (drei Einschläge pro Jahr): 0,02%

Statistisch ist es nicht verwunderlich, wenn ein Blitz in 200 Jahren zweimal am gleichen Ort einschlägt (wobei es außerordentlich unwahrscheinlich ist, den Ort voraussagen zu können).

Beispiel 5

Wenn das zeitliche Eintreffen seltener Ereignisse einen Poisson-Prozess bildet, folgen die Zeitintervalle zwischen den Ereignissen einer Exponentialverteilung. Ein Anwendungsbeispiel für die Simulation poissonverteilter Zufallszahlen findet sich unter Verteilung von Zufallszahlen.

Eigenschaften

Die Verteilung P_λ besitzt den Erwartungswert λ und die Varianz λ.

Die Poisson-Verteilung ist reproduktiv: Sind X₁ und X₂ stochastisch unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariable mit den Parametern λ₁ und λ₂, dann ist X₁+X₂ Poisson-verteilt mit dem Parameter λ₁+λ₂...

Zufallszahlen

Zufallszahlen zur Poisson-Verteilung werden üblicherweise mit Hilfe der Inversionsmethode erzeugt.

Siehe auch: Zufallsverkehr, Warteschlangentheorie