Diskussion:Global Positioning System

Galileo

Der Text ist irgendwie unvollständig oder zerhackt: "Der ursprüngliche Zeitplan sah wie folgt aus ... da es für zivile Anwender bislang ..." macht so keinen Sinn. Wer kann das reparieren?

Die ESA wurde von der EU beauftragt von der Industrie ein europäisches System zur Satellitennavigation mit dem Namen Galileo entwickeln zu lassen. Die Entwicklungs- und Testphase wurde im Dezember 2004 in einem 4 Jahresvertrag an die Industrie vergeben. Der ursprüngliche Zeitplan sah wie folgt aus: (bis 2005 Entwicklungs- und Testphase, Aufbau des Satellitennetzes ab 2006, Inbetriebnahme ab 2008 - Stand Juli 2004), da es für zivile Anwender bislang keine Alternativen zum US-amerikanischen GPS gibt und die zivile Nutzung davon abhängt, welche Genauigkeit das US-Militär bereitstellt.

Hallo,

gibt es denn auch ein Projekt, die Wiki-Infos zu Städten, Sehenswürdigkeiten usw. über eine GPS-Ansprungtabelle verfügbar zu machen, so daß der PDA oder ähnliches gleich die passenden Informationen liefern kann (ähnlich wie im Hitchhikers Guide through the galaxy oder im ehemaligen Vorwort von h2g2)?

Es ist schon oft überlegt worden POIs mit Koordinaten zu versehen, siehe Wikipedia Diskussion:Formatvorlage Stadt. Auch über eine stärken GIS-Einsatz bei Wikipedia z.B. Kartenerzeugung ist angedacht, siehe Wikipedia:Karten. kannst dich gerne dort an Diskussionen beteiligen bzw. es bei Wikipedia:Verbesserungsvorschläge eintragen!

Differential GPS

unter dem Absatz DGPS gibt es eine Anmerkung von FlorianB, daß die hier angeführten Information unter dem bereits vorhandenen Begriff Differential GPS aufgeführt werden sollten. Ich meine: GPS und DGPS sind in der Praxis so eng verbunden, daß unter DGPS nur ein Link auf GPS vorhanden sein sollte.

Da es mehrere Möglichkeiten des DGPS gibt, versuche ich mal den Begriff zu bearbeiten. Über Hilfe wäre ich dankbar.

JG

Euteltracs

Ist Euteltracs nicht eher ein Rückkanalsystem für das Flottenmanagement, das seine Positionsdaten per GPS bezieht? Wer weiss da mehr?

GPS-Frequenzen

Die GPS-Signale auf der Frequenz L2 sind deutlich schwächer als die L1-Signale - sind jedoch grundsätzlich nicht verschlüsselt. Verschlüsselt ist der P-Y-Code auf den Frequenzen L1+L2; die Trägerphase ist frei verfügbar.

Ich habe diesen Eintrag geändert.

Hat jemand andere Informationen?

Josef

Empfänger-Uhren

"Da die Uhren in den Satellitenempfängern schon nach kurzer Zeit nicht mehr genügend genau mit der Systemzeit synchronisiert sind, muß für jede Positionsbestimmung auch die Abweichung der Empfängeruhrzeit von der Systemuhrzeit bestimmt werden."

Ich finde diese Formulierung so nicht OK. Sie bedeutet, daß zum Start einer Messung die GPS-und Empfänger-Uhren synchron laufen. Das kann so garnicht sein.

• In einem GPS-Empfänger befindet sich als Uhr ein Oszillator, der im Vergleich mit den Satelliten-Uhren schrecklich ungenau ist und keine absolute Zeit liefert. Diese Uhr läuft nicht, wenn der Empfänger ausgeschaltet ist.
• Dann gibt es in einem Empfänger noch eine Backup-Uhr mit einer absoluten Zeit, die auch bei ausgeschaltetem Empfänger weiterläuft (und die noch ungenauer ist).
• Beim Einschalten eines Empfängers wird die Backup-Zeit als Empfänger-Zeit übernommen (diese ungenaue Zeit erleichtert die Suche nach Satelliten).
• Bei jeder Positionsbestimmung mit mindestens 4 Satelliten wird der Fehler der Empfänger-Uhr neu bestimmt und evtl. die (absolute) Empfänger-Uhr neu gestellt.
• Sehr wichtig ist, daß die Empfänger-Uhr kurzzeitig relativ sehr genau ist (1-20mS).

Ich hoffe auf Reaktionen.

Josef

woher die exakte zeit?

angenommen ich empfange von fünf satelliten - wie kann ich aus den gesendeten daten die exakte uhrzeit berechnen? jeder satellit sendet seine zeit, ich empfange also fünf signale, die alle ein bisschen zeitlich auseinander liegen - aber kann mein gps empfänger aus diesen daten denn nun die echte uhrzeit berechnen (und damit den relativ exakten standort)? löst sich das entsprechende gleichungssystem also exakt, dass ich daraus den abstand zwischen mir und dem jeweiligen satelliten bestimmen kann? vielleicht kann jemand eine beispielberechnung geben (falls dies nicht zu umfangreich ist), zumindest aber eine wörtliche erklärung dieses problemverhaltes?

danke, --Abdull 22:09, 24. Jan 2005 (CET)

vom vierten Satelliten

Ich versuch das mal:

Nehmen wir an, wir empfangen einen Satelliten. In seinem Signal ist seine genaue Position enthalten und wann er den Datensatz exakt abgeschickt hat. Nehmen wir erst mal zur Vereinfachung weiter an, wir hätten in unserem GPS-Empfänger eine sehr genaue Uhr. Dann könnten wir jetzt aus der Differenz der Absendezeit des Signals und der Ankunftszeit, die der Empfänger ermittelt, unsere Entfernung vom Satelliten errechnen (Lichtgeschwindigkeit ...). Wir befinden uns also irgendwo auf einer virtuellen Kugeloberfläche mit besagter Entfernung vom Satelliten. Soweit alles klar.

Nun bringen wir einen zweiten Satelliten ins Spiel. Auch die Entfernung zu ihm können wir errechnen. Wir befinden uns auch auf einer virtuellen Kugeloberfläche um den zweiten Satelliten. Die beiden Kugeloberflächen schneiden sich in einer Kreislinie. Irgendwo auf dieser Kreislinie befinden wir uns.

Nächster Schritt, wir nehmen einen dritten Satelliten. Gleiche Vorgehensweise: Wir befinden uns auf einer Kugeloberfläche um den dritten Satelliten. Diese Kugeloberfläche geschnitten mit der Kreislinie, die sich aus den ersten beiden Satelliten ergeben hat, ergibt 2 Punkte. Einer wird irgendwo im All liegen, der zweite auf der Erdoberfläche und das ist jetzt unser Standort. Zumindest in der Theorie.

Aber halt, natürlich haben wir keine Atomuhr in der Tasche. Folglich werden unsere Entfernungsmessungen recht ungenau sein. Was tun? Irgend eine Kompensation ist gefragt.

Nehmen wir einfach einen weiteren (den vierten) Satelliten. Gleiches Verfahren. Wir haben jetzt vier Kugeloberflächen und stellen fest, dass sie sich nicht genau in einem Punkt schneiden. Je nachdem welche 3 Kugeln wir jeweils miteinander schneiden ergeben sich Schnittpunkte, die leider nicht deckungsgleich sind, was sie aber in der Theorie sein sollten. Die Ungenauigkeit resultiert aus unserer ungenauen Uhr im Empfänger.

Jetzt machen wir folgendes: Wir stellen unsere Empfängeruhr leicht vor und leicht zurück, so lange, bis die Schnittpunkte der Kugeloberflächen um die Satelliten sich in genau einem Punkt treffen (bzw. bis ihre Abstände minimal sind). Jetzt haben wir zwei Dinge erreicht: Wir kennen unsere genaue Position und die Uhr im Empfänger ist exakt eingestellt. Der vierte Satellit wird also benötigt um die Uhrzeit im Empfänger zu korrigieren.

Darüber hinaus macht es sogar Sinn, noch mehr Satelliten zu empfangen, der GPS-Empfänger wählt dann die Satelliten mit der besten Raumgeometrie, also diejenigen, die die besten Kugelschnitte ergeben. GPS-Besitzer kennen das: Vier Satelliten zu empfangen, die in einer Reihe am Himmel stehen, bringen eine sehr schlechte (oder gar keine) Genauigkeit. Vier Satelliten schön über den Himmel verteilt dagegen eine sehr hohe Genauigkeit.

Soweit der Versuch einer Erklärung, berechnen kann ich die Sache aber leider auch nicht.

Beste Grüße

Helmut http://www.gpswandern.de

Der vierte Satellit würde auch dann benötigt, wenn die Laufzeiten dirket gemssen werden könnten. Zwei Kugen schneiden sich, wenn der Abstand der Kugelmittelpunkte kleiner als die Summe der Kugelradien ist, und die Kugelmeittelpunkte nicht zusammenfallen, in einem Kreis. Schneidet man nun diesen Kreis mit einer weiteren Kugel, wobei obige Bedingung nun paarweise für jeweils eine der alten Kugeln und die neue Kugel gelten soll, so ist die Schnittmenge eine Menge aus zwei Punkten. Erst die vierte Kugel führt zu einer eindeutigen Positionsbestimmung. Fäll einer der zwei Punkte in die Erde, wo man für gewöhnlich keine Satellitensignale empfangen kann, benötigt man die vierte Entferungsmessung (Kugel) für die eindeutige Positionsbestimmung nicht mehr. Aber dann belit immer noc das Problem der Pseudoentferungsmessung, also das Problem der Synchronisation der EMpfängeruhr mit der Systemzeit.

Woher die exakte Zeit - vom vierten Satelliten

Hi Abdul,

wenn du einen ersten Einblick in das mathematische Verfahren zur Positionsberechnung mittels GPS haben möchtest, schau dir die Programme von Sam an (Weblinks am Ende des Themas - "Hinweise zur Positionsberechnung aus Rohdaten und Tests von OEM-Empfängern", "Sam's GPS Software Pages").

Über eine exakte Uhrzeit verfügen wir nie. Auch wenn wir die Zeit so genau bestimmen, wie es möglich ist, ist es immer eine relative Zeit (sonst wären wir Gott).

Es kommt nur darauf an, daß die Satelliten- und Empfänger-Uhren gleich laufen.

- Zum Teil ist zur Positionsberechnung mittels GPS nur ein möglichst genauer Gleichlauf von Satelliten- und Empfänger-Uhren über kurze Zeit notwendig (5mS bis 20mS, neuerdings für den Indoor-Einsatz bis 1S). Eine Zeit wird nicht benötigt, sondern nur ein möglichst genauer Takt.

- Eine grobe Empfänger-Zeit kann man ganz ohne Empfängeruhr aus den Sendezeiten der Satelliten ermitteln (Mittelwert der Sendezeiten + einer geschätzten mittleren Laufzeit (so etwa 70-75mS). Der Fehler der so geschätzten Empfänger-Zeit beträgt meist weniger als 1mS. Der Fehler der Strecken zu den Satelliten beträgt somit < 300Km (Lichtgeschwindigkeit * Zeitfehler). Mit diesem kleinen (!) Uhren- und somit Streckenfehler kann man dann die Empfänger-Uhr mittels 4 oder mehr Satelliten neu stellen und eine Position berechnen. Für sehr genaue Positionsbestimmungen (1m) reicht diese so ermitttelte Zeit vermutlich nicht aus.

- Beim Einschalten eines Empfängers ist eine Empfänger-Uhr von großem Vorteil, da vom Empfänger die Satelliten erstmal gesucht werden müssen. Dies wird mittels der Empfänger-Zeit und den Informationen aus dem Satelliten-Almanach (grobe Satelliten-Bahndaten) durchgeführt. Gibt es keine Empfänger-Uhr oder geht sie sehr ungenau, muß der Empfänger den ganzen Himmel nach GPS-Satelliten absuchen und das kann sehr lange dauern.

Hi Helmut,

wenn du willst, könnten wir einen Absatz über das Verfahren der Positionsbestimmung mittels GPS zusammen versuchen. Wie man eine Position mittels GPS berechnet, fehlt bisher, wie ich finde, in dem Thema.

Gpswandern.de deutet ja nicht gerade auf einen Geodäten, Mathematiker oder Informatiker hin - aber was ich da schon alles erlebt habe! Ich bin übrigens auch kein so Einer.

Ein paar Hinweise zu deiner kurzen und wie ich finde guten Einführung in die Theorie der GPS-Positionsbestimmung´:

- Mehr als 4 auswertbare Satelliten

 Der GPS-Empfänger wählt dann die Satelliten mit der besten Raumgeometrie.
  Stimmt so nicht, obwohl auch in Lehrbüchern verbreitet.
 -> Grundsätzlich verbessert jeder zusätzliche Satellit die Geometrie.
    Bei mehr als 4 auswertbaren Satelliten wird eine Ausgleichung vorgenommen.
    Satelliten können dabei entsprechend ihrer Empfangsqualität gewichtet werden
    (i.d.R. Geheimnis der Empfänger-Hersteller)  

Soweit meine Hinweise, berechnen kann ich die Sache schon.

Freundliche Grüße

Josef

Genauigkeit der Positionsbestimmung

Bereits seit Mai 2000 stimmt die folgende Angabe nicht mehr:

• SPS (Standard Positioning Service) ist für jedermann verfügbar und ist auf eine Genauigkeit von 100 m (in 95% der Messungen) ausgelegt worden."

Ich vermute z.Z. eine mittlere Genauigkeit von etwa 2-10m unter folgenden Bedingungen: - Freiland - Kein Multipath - Simpler GPS-Empfänger - Kein Dgps!

Ich finde so eine Korrektur in dem GPS-Thema sehr wichtig, da viele noch glauben, dass ohne einen 5.000Euro Empfänger und Gyro usw. so etwas nicht möglich ist.

Josef

Wie genau PPS (Precise Positioning Service) jetzt ist, kann wohl nur das US-Militär beantworten

.Christian:

Im Artikel:

SPS (Standard Positioning Service) ist für jedermann verfügbar und ist auf eine Genauigkeit von 100 m (in 95% der Messungen) ausgelegt worden.

Code: Dieses Verfahren ermöglicht eine recht robuste Positionsbestimmung mit einer Genauigkeit von <10 m. Alle preiswerten Empfänger nutzen dieses Verfahren. Mittels DGPS sind Genauigkeiten unter einem Meter möglich.

Diese Angaben sollten zumindest aufeinander abgestimmt werden, vielleicht sind es auch nur zwei andere Genauigkeitsbetrachtungsweisen.

Vielleicht wäre eine Übersichtstabelle der Genauigkeit (zivile Nutzung) nicht schlecht, eventuell auch mit den dafür benötigten Messzeiten ...

Ich hab das mit 15m Genauigkeit in den Artikel übernommen und mich damit an den Angaben von Garmin-Geko bei ebay gehalten. Kolossos 09:25, 20. Apr 2005 (CEST)

Formelflut

Hallo Physikr, auf die Schnelle: Ich würde vorschlagen zugunsten der Lesbarkeit die Formeln in Vektorschreibweise hinzuschreiben und x_i anstelle von x₁, x₂, x₃, x₄. Vielleicht auch x_i anstelle von x, y, z und x_ij für den Satelliten Nr. j und dann Summenzeichen über i. Ferner sollte hinter siehe auch, Literatur, Weblinks nichts mehr stehen. --Wolfgangbeyer 09:37, 16. Mär 2005 (CET)

Ich finde die Schreibweise näher an den einfachen Mathematikgrundkentnissen besser, als komplizierte Vektorschreibweisen aufzubauen, wo man evt. Mathe studiert haben muss, um es zu begreifen. Könntet ihr vielleicht erst mal ein Beispiel hier in die Diskussion schreiben. -- sk 10:02, 16. Mär 2005 (CET)

Ich habe an die letzte Stelle gestellt, weil es ja nur vertiefend ist, aber es kann auch wo anders hin gestellt werden. Hier das Beispiel, evtl. ist noch mehr zusammenzufassen:--Physikr

Die GPS-Grundgleichungen (ohne Korrekturen)

Der GPS-Empfänger befindet sich an einem Ort mit den Koordinaten $x_{0},~y_{0},~z_{0}$ und empfängt die Signale der Satelliten zur GPS-Systemzeit $t_{0}$. Die mindestens 4 (empfangbaren!) Satelliten, senden ihre Signale früher zur Systemzeit $t_{n}$ an den Orten $x_{n},~y_{n},~z_{n}$ aus. Dabei geht n mindestens von 1 bis 4. Obwohl sich das Signal mit Lichtgeschwindigkeit c ausbreitet, wird doch eine Zeit $\Delta t$ gebraucht, um die Entfernung zu bestimmen. Um keine Wurzeln zu benutzen, werden die Gleichungen in Quadratform geschrieben:

${\begin{matrix}{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}(o_{1,j}-o_{0,j})^{2}\\\sum _{j=x}^{z}(o_{2,j}-o_{0,j})^{2}\\\sum _{j=x}^{z}(o_{3,j}-o_{0,j})^{2}\\\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j})^{2}\\\end{pmatrix}}&=&c^{2}{\begin{pmatrix}(t_{1}-t_{0})^{2}\\(t_{2}-t_{0})^{2}\\(t_{3}-t_{0})^{2}\\(t_{4}-t_{0})^{2}\\\end{pmatrix}}\\\end{matrix}}$

Ausmultipliziert ergibt das:

${\begin{matrix}{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{1,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{2,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{3,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{4,j}^{2}\\\end{pmatrix}}&-&2{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{1,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{2,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{3,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{4,j}o_{0,j}\\\end{pmatrix}}&+&{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\end{pmatrix}}&=&c^{2}{\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}t_{1}^{2}\\t_{2}^{2}\\t_{3}^{2}\\t_{4}^{2}\\\end{pmatrix}}&-&2t_{0}{\begin{pmatrix}t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\\t_{4}\\\end{pmatrix}}&+&{\begin{pmatrix}t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}\\\end{matrix}}$

Umsortiert wird daraus:

${\begin{matrix}2{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{1,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{2,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{3,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{4,j}o_{0,j}\\\end{pmatrix}}&-&{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{1,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{2,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{3,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{4,j}^{2}\\\end{pmatrix}}-&c^{2}{\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}t_{1}^{2}\\t_{2}^{2}\\t_{3}^{2}\\t_{4}^{2}\\\end{pmatrix}}&-&2t_{0}{\begin{pmatrix}t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\\t_{4}\\\end{pmatrix}}&+&{\begin{pmatrix}t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}\\\end{matrix}}$

Nun wird die 4. Gleichung von den ersten 3 subtrahiert. Dadurch fallen alle quadratischen Unbekannten weg:

${\begin{matrix}2{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}(o_{1,j}-o_{4,j})o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}(o_{2,j}-o_{4,j})o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}(o_{3,j}-o_{4,j})o_{0,j}\\\end{pmatrix}}&=&{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{1,j}^{2}-o_{4,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{2,j}^{2}-o_{4,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{3,j}^{2}-o_{4,j}^{2}\\\end{pmatrix}}&-&c^{2}{\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}t_{1}^{2}-t_{4}^{2}\\t_{2}^{2}-t_{4}^{2}\\t_{3}^{2}-t_{4}^{2}\\\end{pmatrix}}&-&2t_{0}{\begin{pmatrix}t_{1}-t_{4}\\t_{2}-t_{4}\\t_{3}-t_{4}\\\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}\\\end{matrix}}$

Vorstehende Gleichungen sind nichtlinear, lassen sich aber durch einen Trick sehr vereinfachen. Dazu werden die Koordinaten in einen konstanten und einen zeitabhängigen Anteil aufgespalten:

${\begin{matrix}o_{n,j}=o_{n,j0}+o_{n,jt}t_{0}\qquad f{\ddot {u}}r\qquad n=1,~2,~3\quad und\quad j=x,~y,~z\end{matrix}}$

Nun reicht es, die Gleichungen getrennt für die konstanten und $t_{0}$-abhängigen Terme zu erfüllen.. Bei den $t_{0}$-abhängigen Termen kann $t_{0}$ gekürzt werden, so daß mit

${\begin{matrix}{\mathcal {O}}_{0}\qquad mit\qquad ((o_{j0}))\qquad f{\ddot {u}}r\qquad j=x,~y,~z\\{\mathcal {O}}_{t}\qquad mit\qquad ((o_{jt}))\qquad f{\ddot {u}}r\qquad j=x,~y,~z\\{\mathcal {M}}\qquad mit\qquad ((m_{n,j}))=2(o_{n,j}-o_{4,j})\qquad f{\ddot {u}}r\qquad n=1,~2,~3\quad und\quad j=x,~y,~z\\{\mathcal {T}}_{0}\qquad mit\qquad ((\sum _{j=x}^{z}\left[o_{n,j}^{2}-o_{n,4}^{2}\right]-c^{2}\left[t_{n}^{2}-t_{4}^{2}\right]))\qquad f{\ddot {u}}r\qquad n=1,~2,~3\\{\mathcal {T}}_{t}\qquad mit\qquad ((t_{n}))=2(t_{n}-t_{4})\qquad f{\ddot {u}}r\qquad n=1,~2,~3\\\end{matrix}}$

entsteht:

${\begin{matrix}{\mathcal {M}}({\mathcal {O}}_{0}+{\mathcal {O}}_{t}t_{0})={\mathcal {T}}_{0}+t_{0}{\mathcal {T}}_{t}\\\end{matrix}}$

Dieses Gleichungssystem kann für den konstanten und zeitabhängigen Anteil getrennt erfüllt werden:

${\begin{matrix}{\mathcal {M}}{\mathcal {O}}_{0}={\mathcal {T}}_{0}\\{\mathcal {M}}{\mathcal {O}}_{t}t_{0}=t_{0}{\mathcal {T}}_{t}\\\end{matrix}}$

Bei der unteren Gleichung kann noch $t_{0}$ gekürzt werden:

${\begin{matrix}{\mathcal {M}}{\mathcal {O}}_{0}={\mathcal {T}}_{0}\\{\mathcal {M}}{\mathcal {O}}_{t}={\mathcal {T}}_{t}\\\end{matrix}}$

Es sind also 2 Gleichungssysteme 3. Grades mit der gleichen Koeffizientenmatrix zu lösen. Die Lösungen werden in eine der 4 Ausgangsgleichungen eingesetzt, beispielsweise die erste:

${\begin{matrix}\sum _{j=x}^{z}(o_{1,j}-o_{0,j})^{2}=\sum _{j=x}^{z}[o_{1,j}-(o_{0,j0}+o_{0,jt}t_{0})]^{2}=c^{2}(t_{1}-t_{0})^{2}\end{matrix}}$

Die Terme werden ausmultipliziert und nach Potenzen von $t_{0}$ geordnet:

${\begin{matrix}A=\sum _{j=x}^{z}(o_{1,j}-o_{0,j0})^{2}-c^{2}t_{1}^{2}\\B=\sum _{j=x}^{z}(o_{1,j}-o_{0,j0})o_{0,jt}-c^{2}t_{1}\\C=\sum _{j=x}^{z}o_{0,jt}^{2}-c^{2}\\\\Ct_{0}^{2}-2Bt_{0}+A=0\\\end{matrix}}$

Mit der Lösung:

$t_{0}={\frac {B\pm {\sqrt {B^{2}-AC}}}{C}}$

Nun sind alle Werte bekannt, um die Koordinaten anzugeben.

${\begin{matrix}{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\\\end{pmatrix}}&=&{\begin{pmatrix}x_{00}\\y_{00}\\z_{00}\\\end{pmatrix}}&+&t_{0}{\begin{pmatrix}x_{0t}\\y_{0t}\\z_{0t}\\\end{pmatrix}}\\\end{matrix}}$

Das war vielleicht ein Missverständnis. Ich hatte eher eine Reduktion der Zeilenzahl im Sinn d. h. z. B.

$(x_{s}-x_{0})^{2}+(y_{s}-y_{0})^{2}+(z_{s}-z_{0})^{2}=[c(t_{s}-t_{0})]^{2}$ für s=1,..,4

oder manchmal auch nur für s=1,..,3 wie bei

$2(x_{s}-x_{4})x_{0t}+2(y_{s}-y_{4})y_{0t}+2(z_{s}-z_{4})z_{0t}=2c^{2}(t_{s}-t_{4})$ für s=1,..,3

Oder vielleicht noch weitergehend mit Doppelindizes (daher Index s wie Satellit zugunsten der Übersichtlichkeit) wie z. B.

$\sum _{i=1}^{3}(x_{s,i}-x_{0,i})^{2}=c^{2}(t_{s}-t_{0})^{2}$

Bei vektoriell dachte ich eher an

$({\vec {r}}_{s}-{\vec {r}}_{0})^{2}=c^{2}(t_{s}-t_{0})^{2}$

obwohl wir bei dieser Schreibweise wohl einige Laien abhängen zumindest was die Nachvollziehbarkeit einiger Umformungen in dieser Schreibweise anbetrifft. Ich bin schon etwas länger aus dem "Geschäft" draußen, aber zu meiner Zeit hat niemand i=x, y, z statt i=1, 2, 3 geschrieben. Hat sich das geändert? Bei Doppelindizes würde ich auch eher x statt o verwenden. o als Koordinate kenne ich auch eher nicht. --Wolfgangbeyer 08:45, 17. Mär 2005 (CET)

Was sind eigentlich der konstante und der zeitabhängige Anteil einer Koordinate, sprich eines festen Punktes auf der Erdoberfläche?

Zuerst zum Letzten: "Was sind eigentlich der konstante und der zeitabhängige Anteil einer Koordinate, sprich eines festen Punktes auf der Erdoberfläche?". Mein Satz "Dazu werden die Koordinaten in einen konstanten und einen zeitabhängigen Anteil aufgespalten" hört sich vielleicht etwas mißverständlich an, vielleicht sollte man schreiben: "Zur Berechnung der Zahlenwerte der Koordinaten werden die Zahlenwerte in 2 Anteilen betrachtet und zwar in einem parameterunabhängigen Teil und einen parameterabhängigen Teil, wobei als Parameter $t_{0}$ gewählt wird". Ist aber sehr lang und gefällt mir nicht - obwohl sachlich richtig.

Ob meine Wahl immer glücklich ist, weiß ich nicht. Ich habe o von Ort gewählt und habe bewußt nicht x gewählt, um keine Mißverständnisse aufkommen zu lassen. $x_{1}=x$, $x_{2}=y$ und $x_{3}=z$ halte ich für viele für schwerer verständlich als $o_{i}$ mit i = x, y, z. Ist vielleicht etwas ungewohnt, aber eindeutig verständlich. Aber bei reiner Vektorschreibweise muß man eindeutig sagen, daß man das Skalarprodukt des Ortsvektors meint, der Wegfall der quadratischen Terme ist nicht so einfach zu sehen. Das hat mich zu meiner Darstellung gebracht.

Wie leicht man sich verhauen kann, zeigt Deine zweite Formel. Die erste Formel ist richtig, in der zweiten Formel fehlen viele Quadrate. --Physikr

Natürlich kann man die Zahlenwerte in beliebig vielen Anteilen betrachten. Aber als Parameter die Empfängerzeit $t_{0}$ zu wählen erscheint mir doch sehr fragwürdig. Dann hätte z.B. $x_{ot}$ die Dimension einer Geschwindigkeit. Wo liegt da der physikalische Sinn? Damit sich $t_{0}$ herauskürzt ist keine ausreichende Begründung für diese Aufteilung, zumal das Argument fehlt, warum das Gleichungssystem für die beiden Anteile getrennt erfüllt sein sollte.

@anonymus: ich hab's auch erst eben kapiert. Anfangs hat man ja 4 Gleichungen für 4 Unbekannte x0, y0, z0 und t0. Durch die Reduktion auf 3 Gleichungen ist das nicht unbedingt lösbar. Der Trick besteht nun darin, t0 nicht als feste zu bestimmende Unbekannte zu betrachten sondern als variablen Parameter. Damit erhält man 3 Gleichungen für 3 Unbekannte x0, y0, z0, deren Lösung parametrisch von t0 abhängt. Da es sich um eine lineares Gleichungssystem handelt haben die Lösungen genau die angegebene Form x0=x00+x0t*t0. Das in die Gleichungen eingesetzt liefert so was wie a+b*t0=c+d*t0 für alle t0. Daher muss a=c und b=d separat gelten.

@physikr, vielleicht reicht ja einfach die Schreibweise meiner ersten beiden Gleichungen. Damit vermeiden wir die für Laien vielleicht schwer lesbaren Doppelindizes, reduzieren aber die Gruppen von 3 bis 4 Gleichungen, die sich nur um Indexwerte unterscheiden, jeweils auf eine einzige, und reduzieren damit auch die Redundanz in der Formelflut. Ich sehe in der 2. Gleichung übrigens auf die Schnelle keinen Fehler. Sie stellt die letzte Dreiergruppe von Gleichungen im Text dar. Die müsste dann auch falsch sein, denn ich habe sie mit copy+paste dort rausgefischt und angepasst. --Wolfgangbeyer 00:30, 19. Mär 2005 (CET)

Aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten werden 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Ein solches Gleichungssystem kann man z.B. dadurch lösen, dass man eine Unbekannte "errät". Sonst bleibt eine Unbekannte immer als Parameter übrig. Wenn man das Gleichungssystem so wie beschrieben mit einem Zahlenbeispiel durchrechnen würde, stellte man fest, dass die Terme A, B und C allesamt gleich Null sind. Dann erhält man die richtige Aussage 0=0, aber keinen Wert für $t_{0}$. Das sieht man bereits an dem Term für C. Da wir ja von einem ruhenden Empfänger ausgehen, kann als einzige Geschwindigkeit nur die Lichtgeschwindigkeit in den Gleichungen auftauchen. Für ein Funksignal gilt dann aber C=0. (technikr)

@technikr, da liegt irgendein Missverständnis vor, ich sehe nur nicht genau wo. Ich nehme an Du meinst mit A mein a? c und d sind ja von Null verschieden, denn sie berechnen sich ja unmittelbar aus den bekannten Koordinaten und Zeiten. Warum sollte $c=x_{i}^{2}-x_{j}^{2}+y_{i}^{2}-y_{j}^{2}+z_{i}^{2}-z_{j}^{2}-(c^{2}t_{i}^{2}-c^{2}t_{j}^{2})$ Null sein? Die Zeiten beziehen sich ja gar nicht auf ein Signal, das zwischen Satellit i und j ausgetauscht wird, und selbst dann wäre es nicht korrekt. Über die 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten erhält man zunächst nur die Lösungen x0(t0), y0(t0), z0(t0) als Funktion des noch unbekannten Paramaters t0. Um t0 zu erhalten muss man wieder auf eine der 4 Ausgangsgleichungen zurückgreifen und damit wieder eine 4. und zwar eine von den anderen 3 unabhängige Gleichung ins Spiel bringen.

@physikr, man kann sich doch das "Aufspalten" von x0 in einen konstanten und zeitabhängigen Teil umgehen, indem man schreibt:

Vorstehende Gleichungen (Wieso sollen die eigentlich nichtlinear sein? In den Unbekannten sind sie's ja nicht) lassen sich als 3 lineare Gleichungen für die Unbekannten x0, y0 und z0 interpretieren, deren Lösung jedoch noch die Unbekannte t0 enthält. Da t0 lediglich linear auftritt, führt diese Lösung zu Ausdrücken der Form

${\begin{matrix}x_{0}=x_{00}+x_{0t}t_{0}&&y_{0}=y_{00}+y_{0t}t_{0}&&z_{0}=z_{00}+z_{0t}t_{0}\\\end{matrix}}$

in denen lediglich t0 noch unbekannt ist.

Auf diese Weise könnte man es sich völlig sparen, die jeweils 3 linearen Gleichungen für den "konstanten" und den "zeitabhängigen" Teil separat hinzuschreiben. Und entfällt das Rätsel für den Leser, warum man scheinbar so unmotiviert "aufspaltet". Ich bin da auch gestolpert. --Wolfgangbeyer 12:14, 19. Mär 2005 (CET)

@Wolfgangbeyer Für die Rechnungen muß man dann doch die Gleichungen seperat lösen. Nichtlinear sind die Gleichungen insofern, das Produkte $x_{0t}t_{0}$ auftreten und deshalb ist ja auch eine quadratische Gleichung zu lösen.

Aus den 4 Gleichungen werden nicht 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten, sondern 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten und einem Parameter, der durch die 4. Gleichung Gleichung bestimmt wird. Insofern war der Einwand richtig, es muß also heißen:

${\begin{matrix}\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j})^{2}=\sum _{j=x}^{z}[o_{4,j}-(o_{0,j0}+o_{0,jt}t_{0})]^{2}=c^{2}(t_{4}-t_{0})^{2}\\\end{matrix}}$

Die Terme werden ausmultipliziert und nach Potenzen von $t_{0}$ geordnet:

${\begin{matrix}A=\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j0})^{2}-c^{2}t_{4}^{2}\\B=\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j0})o_{0,jt}-c^{2}t_{4}\\C=\sum _{j=x}^{z}o_{0,jt}^{2}-c^{2}\\\\Ct_{0}^{2}-2Bt_{0}+A=0\\\end{matrix}}$

Ansonsten hat anonymos Recht.

$x_{ot}$ hat tatsächlich die Dimension einer Geschwindigkeit. Als Rechenhilfsgröße braucht man aber nicht nach einer physikalischen Bedeutung zu suchen.

Entschuldigung für das Mißverständnis bei der zweiten Gleichung. Ich hatte zu kurz geschaut und gedacht, daß die zweite Gleichung sich unmittelbar aus der ersten ergibt. Aber das ja nur aus einer späteren kurzen Gleichung rausgefischt. --Physikr

Ich beziehe mich auf die untenstehenden Gleichungen. A, B und C sind alle gleich Null. Bei C sieht man das sofort (siehe oben). Wer es nicht glaubt, kann ja spaßeshalber mal Zahlenwerte in das Ausgangsgleichungssystem einsetzen.

${\begin{matrix}A=\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j0})^{2}-c^{2}t_{4}^{2}\\B=\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j0})o_{0,jt}-c^{2}t_{4}\\C=\sum _{j=x}^{z}o_{0,jt}^{2}-c^{2}\\\\Ct_{0}^{2}-2Bt_{0}+A=0\\\end{matrix}}$

(technikr)

Hat das jemand schon mal nachgerechnet? Im Prinzip lässt sich ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und ebensovielen Unbekannten natürlich lösen. (technikr)

Eigentlich wollte ich mich hier gar nicht so weit hineinziehen lassen ;-). Ich glaube ein Gegenbeispiel zu C=0 gefunden zu haben. Lege aber für meine Argumentation nicht die Hand ins Feuer. Sie geht so: Es geht ja um 3 Gleichungen vom Typ

$({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}){\vec {r}}_{0}+K=c^{2}(t_{i}-t_{j})t_{0}$

wobei K eine bekannte Konstante ist. Jede einzelne dieser Gleichungen definiert eine Ebene im Raum, auf der das gesuchte ${\vec {r}}_{0}$ liegen muss, das sich letztlich als Schnittpunkt der 3 Ebenen ergeben würde, wenn t0 bekannt wäre. Jede Ebene verläuft senkrecht zu ${\vec {r_{i}}}-{\vec {r_{j}}}$ und erfährt bei Veränderung von t0 eine Parallelverschiebung. Für diese Parallelverschiebung pro Δt0 erhalte ich stets einen Wert kleiner gleich c. Gleichheit erhalte genau dann, wenn die 3 Ortsvektoren in einer Gleichung auf einer Linie liegen. In diesem Fall muss sich ${\vec {r}}_{0}(t_{0})$ mindestens mit c bewegen, nämlich dann wenn es sich in Richtung der Flächennormalen bewegt. Wenn ich einen weiteren Satelliten so platziere, dass die Ebene zu der zugehörigen Gleichung nicht gerade still steht (was nur im Sonderfall ti=tj der Fall ist), dann muss sich ${\vec {r}}_{0}(t_{0})$ mit v>c bewegen und daraus folgt C>0. Wie gesagt ohne Gewähr. Soll physikr das mal numerisch oder analytisch nachrechnen – er hat es uns ja auch eingebrockt ;-). Im Prinzip ist es sowie die Frage, inwieweit so eine Herleitung im Rahmen der Wikipedia überhaut einen Sinn ergibt, oder ob nicht einfach der Hinweis auf das System von 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten genügt. Zumindest habe ich hier noch keine annähernd ähnlich aufwendige Herleitung gesehen.--Wolfgangbeyer 17:22, 19. Mär 2005 (CET)

@Physikr, ob man zum Schluss die 4. oder die 1. der 4 Ausgangsgleichungen für die Berechnung von t0 hernimmt, dürfte irrelevant sein. Jede ist linear unabhängig von den 3 Gleichungen. Das siehst Du schon daran, dass man die 3 Gleichungen durch Differenzbildungen immer so umformen kann, als hätte man anfangs die Differenzen zu einer beliebigen anderen Ausgangsgleichung statt zur 4. gebildet. Insbesondere ist das Argument schwer haltbar, dass die 4. Gleichung noch nicht verwendet sei, wenn sie anders als die anderen sogar in jede der 3 Gleichungen bei der Differenzbildung eingegangen ist ;-). Und eine separate Lösung für die Gleichungssysteme zum "konstanten" und "zeitabhängigen" Term ist ja nur nötig, wenn man einen fertigen Algorithmus zur Lösung einsetzen will, der Zahlen für die Koeffizienten erfordert. Für eine analytische Lösung ist das nicht nötig, und damit im Artikeltext eigentlich auch nicht. --Wolfgangbeyer 17:39, 19. Mär 2005 (CET)

@Wolfgangbeyer: Deine Argumentation bezüglich C=0 sieht auf den ersten Blick recht plausibel aus. Falls die Herleitung von Physikr stimmt, könnte man sie auf eine extra Seite platzieren und mit der GPS-Seite verlinken. Dann könnten zumindest interessierte Leser die Lösung nachvollziehen, und die GPS-Seite wird nicht so überladen. Auch den "Trick" mit dem konstanten und zeitabhängigen Term würde ich dann auf der Extraseite belassen. (technikr)

Da ich es eingebrockt habe, auch mal das Rechenprogramm. Ist in VBA geschrieben und liest zunächst aus einer Excel-Tabelle mit dem Namen "Daten" die Richtungen der Satelliten in Azimut und Höhe von Meßpunkt aus gesehen zum Zeitpunkt der Aussendung.

Danach werden die Satellitenpositionen berechnet und die Laufzeit bestimmt. Danach wird eine Zufallszeit (Stellung der Empfängeruhr) dazu addiert. Diese Zeit einschließlich der Satellitenpositionen erhält der Empfangsrechner und berechnet die Empfängerposition. Zum Schluß werden die Koordinaten des berechneten Punktes ausgegeben.

Der berechnete Ort ist hier nur durch den numerischen Fehler der Rechnung gegeben und ist kleiner $10^{-8}$ m. Die berechneten Positionen schwanken bei jedem Rechengang als Folge der Zufallszeit der internen Uhr.

Private Sub Loesen_Click()

 Const h = 20200000.1, r = 6300000.1, c = 300.1 'm/"my"s
 Const anzahl = 4
 Dim n, i, j, k, wahl As Integer
 Dim daten(24, 8) As Double
 'daten(Satellitennr., Werte), 1 Azimut, 2 Höhe, 3 Abstand,
 '  4 Bodenradius
 '  5,6,7 x,y,z
 '  8 Laufzeit
 Dim pi, u, a, b, z, h1, ag, bg, cg, t0, x0, y0, z0 As Double
 'u Umwndlung Grad in Bogenmaß, a Abstand, z Zufallszeit
 Dim empfang(24, 8) As Double 'Empfangene Werte
 Dim koeff(24, 8) As Double 'Rechenmatrix

 pi = 4 * Atn(1)
 u = pi / 180
   
 'Satellitenposition lesen
 For n = 1 To anzahl
   daten(n, 1) = u * Worksheets("Daten").Cells(6 + n, 2) 'Azimut
   daten(n, 2) = u * Worksheets("Daten").Cells(6 + n, 3) 'Höhe
 Next n
 
 'Sendedaten ausrechnen
 For n = 1 To anzahl
   a = r * Sin(daten(n, 2))
   h1 = h * h + 2 * h * r + a * a
   a = Sqr(h * h + 2 * h * r + a * a) - a
   daten(n, 3) = a
   b = a * Cos(daten(n, 2))
   daten(n, 5) = b * Cos(daten(n, 1))
   daten(n, 6) = b * Sin(daten(n, 1))
   daten(n, 7) = a * Sin(daten(n, 2))
   daten(n, 8) = a / c
 Next n
 
 z = 10000.1 * Rnd 'Zufallsstand interne Uhr
 
 'Empfangsdaten
 For n = 1 To anzahl
   empfang(n, 1) = daten(n, 8) + z
   empfang(n, 2) = daten(n, 5)
   empfang(n, 3) = daten(n, 6)
   empfang(n, 4) = daten(n, 7)
 Next n

 'Gleichungssystem
 wahl = 4
 For n = 1 To wahl - 1
   For j = 1 To 3
     koeff(n, j) = 2 * (empfang(n, j + 1) - empfang(wahl, j + 1))
   Next j
   h1 = 0
   For j = 1 To 3
     h1 = h1 + empfang(n, j + 1) * empfang(n, j + 1) - empfang(wahl, j + 1) * empfang(wahl, j + 1)
   Next j
   koeff(n, 4) = h1 - c * c * (empfang(n, 1) * empfang(n, 1) - empfang(wahl, 1) * empfang(wahl, 1))
   koeff(n, 5) = 2 * c * c * (empfang(n, 1) - empfang(wahl, 1))
 Next n
 
 'Gleichungssystem lösen
 grad = 3
 zahl = 2
 
 'Lösen des Gleichungssytems - Gauß mit Pivotsuche
 For j = 1 To grad - 1
   'Jede Gleichung mit Faktor multiplizieren, damit größter Koeffizient = 1
   For i = j To grad
     h1 = Abs(koeff(i, i))
     h2 = i
     For k = i + 1 To grad       'größten absoluten Koeffizienten suchen
       If Abs(koeff(i, k)) > h1 Then
         h2 = k
         h1 = Abs(koeff(i, k))
       End If
     Next k
     If h2 > i Then
       h1 = 1 / h1
       For k = i To grad + zahl
         koeff(i, k) = koeff(i, k) * h1
       Next k
     End If
   Next i
 
   'Pivot-Suche
   h1 = Abs(koeff(j, j))
   h2 = j
   For i = j + 1 To grad
     If Abs(koeff(i, j)) > h1 Then
       h2 = i
       h1 = Abs(koeff(i, j))
     End If
   Next i
   If h2 > j Then         'Pivot-Tausch
     For k = j To grad + zahl
       h1 = koeff(j, k)
       koeff(j, k) = koeff(h2, k)
       koeff(h2, k) = h1
     Next k
   End If
 
   'führende Koeffizienten durch Addieren auf 0 bringen
   For i = j + 1 To grad
     h1 = -koeff(i, j) / koeff(j, j)
     For k = j To grad + zahl
       koeff(i, k) = koeff(i, k) + koeff(j, k) * h1
     Next k
   Next i
 Next j

 'Rückwärtseinsetzen
 For k = 1 To zahl
   koeff(grad, grad + k) = koeff(grad, grad + k) / koeff(grad, grad)
   For i = grad - 1 To 1 Step -1
     Sum = koeff(i, grad + k)
     For j = i + 1 To grad
       Sum = Sum - koeff(i, j) * koeff(j, grad + k)
     Next j
     koeff(i, grad + k) = Sum / koeff(i, i)
   Next i
 Next k

 'Werte quadratische Gleichung
 ag = 0
 bg = 0
 cg = 0
 For j = 1 To 3
   h1 = empfang(wahl, j + 1) - koeff(j, grad + 1)
   ag = ag + h1 * h1
   bg = bg + h1 * koeff(j, grad + 2)
   cg = cg + koeff(j, grad + 2) * koeff(j, grad + 2)
 Next j
 ag = ag - c * c * empfang(wahl, 1) * empfang(wahl, 1)
 bg = bg - c * c * empfang(wahl, 1)
 cg = cg - c * c
 
 t0 = (bg + Sqr(bg * bg - ag * cg)) / cg
 
 x0 = koeff(1, grad + 1) + koeff(1, grad + 2) * t0
 y0 = koeff(2, grad + 1) + koeff(2, grad + 2) * t0
 z0 = koeff(3, grad + 1) + koeff(3, grad + 2) * t0
 
 Worksheets("Daten").Cells(1, 5) = x0
 Worksheets("Daten").Cells(2, 5) = y0
 Worksheets("Daten").Cells(3, 5) = z0

End Sub

Bevor ich mich mühsam durch den Kode arbeite, was ist denn das Fazit? Wenn ich Dich richtig verstehe, simuliert das Programm eine Situation mit bekannten Koordinaten der Satelliten und eines Empfängers und berechnet aus den Signalen nach den Formeln des Artikels die Position des Empfängers. Als Ergebnis wird die Differenz zwischen der hineingesteckten und der berechneten Empfängerposition ausgegeben und der ist relativ zu irgendwelchen Abständen 10^-8. Sehe ich das richtig? Interessant wäre noch, ob Du technikrs Beobachtung A=B=C=0 widerlegen oder bestätigen kannst. --Wolfgangbeyer 00:41, 20. Mär 2005 (CET)

@Wolfgangbeyer, Du siehst das fast richtig. Die hineingesteckte Position ist der Nullpunkt. Das Ergebnis ist nicht ein relativer Fehler von 10^-8, sondern ein absoluter Fehler von 10^-8 m. " technikrs Beobachtung A=B=C=0" ist keine Beobachtung, sondern eine Behauptung, die nicht untermauert war. Im Code ist A: ag, B: bg und C: cg. Bei allen getesteten Satellitenpositionen waren die Werte ungleich 0. Da technikrs Behauptung Allgemeingültigkeit beanspruchte, ist sie damit schon widerlegt.

Die Simulation ist richtig beschrieben, stimmt aber mit der Wirklichkeit bis auf die ignorierten zusätzlichen Einflüsse überein. Der Empfänger erhält auch in der Wirklichkeit die Daten der Satellitenpositionen zur Sendezeit und mißt mit der Empfängeruhr die Empfangszeit und gewinnt daraus die Sytemzeit des Senders und seine eigene Position. --Physikr

zur Formelflut

Weil die vorherige Diskussion aus allen Nähten platz, fang ich mal eine neue Überschrift an ;) - ich finde diese Formelflut auch alles andere als ideal und ich frage mich ganz ehrlich, ob das in eine Enzyklopädie gehört. Es ist natürlich schön, wenn man diese weiterführenden Informationen irgendwo findet, aber wäre das nicht in einem anderen Projekt besser aufgehoben. Vielleicht eine Abhandlung über die Berechnung in Wikibooks?

Das ganze ist nicht sonderlich aussagekräftig, da ja schonmal der Spezialfall von 4 Satelliten, der sicher am meisten vorkommt. Aber auch mit drei Satelliten und einer Atomuhr im Empfänger ist das ganze ja möglich.

Dann ist der Anfang relativ klar: die Grundgleichungen sind - wenn man weiß, wie man das grundsätzlich berechnen kann - klar. Wenn man das schonmal nicht weiß und keine Ahnung von Mathe hat wird man schonmal die Grundgleichungen nicht verstehen. Eine Erklärung der Art (lapidar gesagt) "Der geometrische Abstand der Punkte muss genau der Strecke entsprechen, die das Signal in der vergangenen Zeit zwischen Absenden und Empfangen zurückgelegt hat" würde das ganze für den Laien ziemlich vereinfachen.

Erleichtern würde es auch, wenn beim Satz "Dadurch fallen alle quadratischen Unbekannten weg" erläutert werden würde, welche das denn sind, denn dass z.B. t0 eine Unbekannte ist - für den Laien vermutlich zunächst unklar warum - wird nicht erläuert.

Der Trick bedarf meines Erachtens nach auch noch einige Erläuterungen, wieso der Trick angewendet werden kann (laienhaft! in der Art "denn der Betrag, der links mit t0 multipliziert werden muss, muss ja genau dem Betrag rechts entsprechen und der ohne t0... blabla").

Was mir weiterhin unklar ist, ist die Tatsache, warum ich am Ende die vierte Gleichung nehmen muss. Es wird gesagt, da diese bisher unbenutzt ist, aber das ist ja nicht der Fall, ich habe sie ja bereits zur Eliminierung der quadratischen Anteile weiter oben benutzt und damit ist sie ja nicht weiter unabhängig.

Alles in allem muss man sich das wirklich ziemlich durchdenken um es zu verstehen und da könnte ein wenig Ausführlichkeit helfen. Ich schlage außerdem einen extra Artikel der Art GPS-Berechnung oder GPS-Gleichungen etc. vor, denn im reinen Lexikonartikel zu GPS ist das meiner Meinung nach zu viel. MfG --APPER\^☺☹ 01:40, 20. Mär 2005 (CET)

Hallo APPER, das ist schon richtig. Der Umfang der Herleitung ließe sich allerdings durch entsprechende Schreibweise fast auf eine Bildschirmseite eindampfen und auch der Begleittext hat deutliche Mängel und ist noch alles andere als endgültig. Für mich stellt sich aber inzwischen die prinzipielle Frage, wie wir mit mathematischen Herleitungen und Beweisen generell umgehen wollen. Mir ist bisher dieses Thema noch nicht begegnet, und ich weiß nicht, ob irgendwo schon mal darüber diskutiert wurde, und eine Empfehlung dazu existiert. Wenn nicht, sollte man das vielleicht mal auf höherer Ebene zur Diskussion stellen, z. B. auf der Mailingliste, dem Mathematik- oder Physik-Portal oder wo auch immer. Sollte so was in eigene Kapitel, in die Wikibooks, Wikisource (da gibt’s z. B. den Goldenen Schnitt auf 1000 Stellen). Fällt Dir dazu was ein? --Wolfgangbeyer 02:41, 20. Mär 2005 (CET)

Der richtige Ort dafür fiel mir auch nicht ein. Da hast du recht, das ist ein echtes Problem. Wikibooks soll ja Bücher haben - die Herleitung ist kein Buch. Die Wikipedia soll enzyklopädische Beiträge haben - das ist eine Herleitung eigentlich nicht. Wikisource soll ursprüngliche Texte haben - da passts auch nicht hin. Also wo hin? Die Frage auf der Mailingliste zu stellen ist vielleicht nichtmal so dumm - ich werd erstmal versuchen heut abend beim Berliner Stammtisch zu fragen, ob sich jemand an eine entsprechende Diskussion erinnern kann, falls sowas schonmal diskutiert wurde. MfG --APPER\^☺☹ 07:01, 20. Mär 2005 (CET)

Hallo APPER, prima Idee, Wikobooks definiert sich laut Hauptseite als Lehrbücher und andere Lern- und Lehrmaterialien. Da wär's nicht ganz so verkehrt. Eine weitere Problemkategorie, die mir in diesem Zusammenhang einfällt, sind auch Algorithmen, die in vielen Artikeln als Computer-Listings zu finden sind. Eine Idee wäre auch, generell das Konstrukt eines Anhanges als Subartikel der Form (Artikel)/Anhang für solche Sachen einzuführen bzw. zu empfehlen. Vielleicht kannst Du das heute Abend mal in die Diskussion werfen. --Wolfgangbeyer 10:45, 20. Mär 2005 (CET)

Zum Einen fällt mir auf, dass die Überschrift der Herleitung "Die GPS-Grundgleichungen (ohne Korrekturen)" missverständlich ist. Man könnte denken, dass die Korrekturen noch fehlen. Aber das Gleichungssystem geht ja von dem Idealzustand aus, dass alle Daten gleichzeitig ($t_{0}$) den Empfänger erreichen und bearbeitet werden. In Wirklichkeit ist das jedoch nicht der Fall. Die Satellitensignale werden seriell und mit einer entsprechenden Zeitverzögerung vom Empfänger synchronisiert und geladen. Während die Positionsdaten des einen Satelliten gespeichert werden, haben die anderen ihre vorige Position bereits verlassen, und zwar mit fast 4km/s. Deshalb variieren neben dem Empfangszeitpunkt auch die Sendezeiten und die Positionsdaten. Außerdem ist die Lichtgeschwindigkeit nicht konstant wegen elektrischer Effekte in der Ionosphäre und Verzögerungseffekte in der Troposphäre. Ganz abgesehen von den vielen anderen Fehlerquellen, die auf der Diskussionsseite zur Relativitätstheorie erwähnt werden, welche die Laufzeit der GPS-Signale beeinflussen. Deswegen wäre ich dafür, diese Herleitung nicht auf der GPS-Seite zu belassen, weil sonst ein falsches Bild von dieser Technik vermittelt wird. Aber auf einer eigenen (Mathe-)Seite, verlinkt mit der GPS-Seite, könnte diese Lösung ihren Platz finden. (technikr)

Zum Anderen habe ich mich von der Richtigkeit der Herleitung überzeugen lassen. Hierbei handelt es sich aber um reine Mathematik, nämlich die Lösung eines quadratischen Gleichungssystems. Die gehört auf eine Mathematikseite und nicht wie bereits oben begründet auf die GPS-Seite. (technikr)

@technikr, eigentlich finde ich eine Erwähnung dieser zu korrigierenden Effekte wie Anomalien der Erdoberfläche, Ionosphäreneffekte usw. wichtiger als die Formeln. Wenn Du Lust hast, kannst Du ja mal ;-). Wenn man mehr als 4 Satelliten auswerten will, muss man ja sowieso anders rechnen, oder wählt man bei Präsenz von mehr als 4 gewöhnlich einfach nur 4 Satelliten aus? Das einzige, was an der hiesigen Herleitung überhaupt erwähnenswert wäre, ist der Trick mit der Reduktion auf ein lineares Gleichungssystem. Aber trotzdem bleibt die generelle Frage, wohin damit. Vielleicht macht APPER uns ja morgen schlauer. --Wolfgangbeyer 11:13, 20. Mär 2005 (CET)

@Wolfgangbeyer prinzipiell stimme ich dem zu, aber es muß der Zugang zu dem Formeln sein, denn z.B. Dir wurde ja auch erst richtig klar um was es geht nach der Formeldarstellung.

Bei mehr Satelliten ist auch nicht anders zu rechnen, lediglich das Lösungssystem ist anders zu machen. Der Gaußchen Lösung sind entweder die Korrelatengleichungen vorzuschalten, die aus einem m x 3 Gleichungssystem (m > 3) ein 3 x 3 Gleichungssystem machen oder das m x 3 Gleichungssystem wird z.B. mit der Schmidtschen Orthogonalisierung direkt gelöst. Ich hatte nur das Gaußche Lösungsverfahren aus einer anderen Rechnung ohne wesentliche Anpassung kopiert. Prinzipiell kann ich auch das Schmidtsche Verfahren reinkopieren, aber das ist noch anzupassen.

@technikr, die Signale werden quasi gleichzeitig empfangen. Im Empfänger werden die Codeworte für die einzelnen Signale - die ja wegen der gleichen Frequenz aller Satelliten gleichzeitig empfangen werden - mit den eigens erzeugten Codeworten korreliert und es wird das Maximum der Kreuzkorrelationsfunktion bestimmt. Das der Satellit sich nach (bzw. während) der Aussendung weiter bewegt, ist für die Auswertung unwesentlich. Wesentlich ist nur, daß die Position des Satelliten zur Zeit der Aussendung bekannt ist. Das dauert eine Weile, da die Positionsnachrichten erst empfangen werden müssen und ausgewertet werden.--Physikr 12:36, 20. Mär 2005 (CET)

Man könnte ja im Bereich Mathematik eine Rubrik "Nichtlineare Gleichungssysteme" eröffnen und diese Herleitung als Spezialfall, in dem sich die nichtlinearen Unbekannten eliminieren lassen, einfügen. Vielleicht finden sich ja dann auch noch andere Interessenten, die den neuen Artikel ergänzen mögen;-) Noch eine Bemerkung zum GPS-Empfänger: Moderne Empfänger besitzen mehrere Digitale Signalprozessoren, so dass nach dem Empfang und der Demodulation eines Satellitensignals auch mehrere Signale gleichzeitig verarbeitet werden können. Der Zeitverbrauch für die Positionsbestimmung ist dann nicht so groß wie bei einem einkanaligen Empfänger.

In den GPS-Bestimmungsgleichungen können von vornherein Abweichungen der Empfängeruhr und Fehlersumme aller anderen auftretenden Abweichungen berücksichtigt werden, so dass mehr verfügbare Satelliten die Lösung vereinfachen. In dieser hier vorgestellten reinen Form spielen die Gleichungen aus praktisch-technischen Gründen kaum eine Rolle. Und für einen Leser des Artikels ist die hinter GPS stehende Mathematik kaum interessant, oder?

Vielleicht habe ich über Ostern etwas Zeit für gute Formulierungen und kann mal etwas zu den Fehlerquellen bei GPS schreiben... (technikr)

PS: Man benötigt übrigens zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems keinen "Trick", denn im linearen Gleichungssystem nach Eliminierung der quadratischen Unbekannten lassen sich die Unbekannten $x_{0}$, $y_{0}$ und $z_{0}$ in Abhängigkeit von $t_{0}$ ausdrücken und zum Schluss in eine der Grundgleichungen einsetzen. Dann erhält man $t_{0}$ und anschließend auch die restlichen Unbekannten. (technikr)

Übrigens glaube ich nicht, dass die Signale gleichzeitig empfangen werden. Die Übertragung der 1023 bit dauert um die 20 Sekunden, also kann wohl kaum davon ausgegangen werden, dass immer alles zeitgleich ankommt. Ich denke schon, dass das eine starke Vereinfachung ist und - wie ja schon gesagt - sind da keinerlei Korrekturen drin. Da es auch dem Laien keine weiteren Informationen bringt ist das ganze eigentlich nur eine Nice-To-Know-Mathe-Spielerei. Eine mathematische Erklärung der Art wie aus drei Signalen die Position bestimmt werden kann (Schnitt dreier Kugeln) mit einer schönen Grafik würde mehr bringen. An anderer Stelle ist dieses Nice-To-Know-Mathe-Wissen sicher interessant - wo genau - wikibooks, wikisource... - darüber muss erst noch ein Konsens gefunden werden. --APPER\^☺☹ 13:41, 20. Mär 2005 (CET)

@Physikr, ich hatte übersehen, dass im Empfänger gewöhnlich keine Präzisionsuhr läuft. Aber zu Verständnis genügt ja völlig der Hinweis auf die 4 Unbekannten in $({\vec {r}}_{s}-{\vec {r}}_{0})^{2}=c^{2}(t_{s}-t_{0})^{2}$. Im Prinzip ist kann man die Notwendigkeit, t0 zu bestimmen, so dass 4 Satelliten erforderlich sind, auch in Worte fassen und sich damit sogar diese Gleichung sparen. Eine Beschreibung des zugehörigen Lösungsverfahrens ist dagegen eigentlich nur für den interessant, der so was wirklich selber bauen und/oder programmieren will ;-).

@technikr, naja "Schnitt dreier Kugeln" könnte auch wieder verwirren, wenn gleichzeitig von mindestens 4 Satelliten die Rede ist. Man sollte dann den 4. Satelliten erst anschließend ins Spiel bringen. --Wolfgangbeyer 13:59, 20. Mär 2005 (CET)

@Wolfgangbeyer: Ich habe nichts zum "Schnitt dreier Kugeln" geschrieben. Das war APPER. Eine Beschreibung des Lösungsverfahrens des Nichtlinearen Gleichungssystems kann sich darauf beschränken, dass man in diesem Spezialfall die quadratischen Unbekannten eliminieren kann. Der Rest ist Lösung eines linearen Gleichungssystems. Meinen Vorschlag siehe oben! (technikr)

@APPER: Der Schnitt dreier Kugeloberflächen ergibt 2 Punkte, so dass eine vierte Kugel notwendig ist, um einen eindeutigen Punkt zu erhalten. (technikr)

Es gibt GPS-Empfänger, die mit Atomuhren ausgerüstet sind und mit drei Satelliten auskommen - dass es theoretisch einen zweiten Punkt geben kann, an dem man sich befindet kann getrost ignoriert werden, weil wenn ich mich dort befinde, dann weiß ich dass, weil dann die Luft ziemlich dünn ist so einiges oberhalb der Satelliten... Und wie du siehst gibt es bei der Herleitung die du gibst auch zwei Lösungen, denn es ist ja eine quadratische Gleichung, die gelöst wird. Die vierte Gleichung wird also nicht benutzt um zu bestimmen, ob der Schnittpunkt oberhalb der Satelliten oder der auf der Erde gemeint ist sondern zur Eliminierung von t0 - man hat halt meist keine Atomuhr dabei. --APPER\^☺☹ 17:17, 20. Mär 2005 (CET)

@APPER: Du hattest von einer "mathematischen Erklärung" geschrieben, und dafür benötigt man 4 Kugeloberflächen. Dass der Empfänger beim realen GPS trotzdem weiß, dass er nicht im Weltraum schwebt, verdankt er der eingebauten "Intelligenz" eines Koordinatensystems, welches ihn auf der Erdoberfläche lokalisiert. (technikr)

Habe den Absatz "GPS-Grundgleichungen" etwas umformuliert in einem extra Artikel abgelegt. Der Link dorthin ist unter "siehe auch" angegeben. Vielleicht hat jemand eine bessere Idee, wo man den Hinweis auf die Gleichungen unterbringen könnte.

Das ist vorläufig mal ok, denke ich. Die Frage nach dem generellen wohin mit Herleitungen ist noch offen. Siehe die Kommentare Benutzer_Diskussion:APPER#Herleitungen.2C_Beweise.2C_Algorithmen und Benutzer_Diskussion:Wolfgangbeyer#Ort_f.C3.BCr_Herleitungen. --Wolfgangbeyer 00:44, 23. Mär 2005 (CET)

zur Formelflut

Zum besseren Verständnis des GPS-Systems:

C/A-Code (zur Pseudostrecken-Bestimmung)

• Geschwindigkeit 1,023 MHz
• Codelänge 1023 Chips -> Dauer 1mS
• 1 Chip Dauer 0.98uS -> Länge 293m

Mittels eines Korrelators wird dann versucht, diese 293m noch genauer aufzulösen. Werden die Pseudostrecken zu den Satelliten nacheinander erfaßt (z.B. 1mS versetzt), müssen diese mittels Doppler oder Trägerphase auf einen gemeinsamen Zeitpunkt gerechnet werden.

Navigationsnachricht (u.a. zur Positionsberechnung)

• Geschwindigkeit 50 Bit/S
• Volle Nachricht 25 Blöcke = 37500 Bit = 12.5 Minuten
• 1 Block = 1500 Bit = 30 Sekunden
• 1 Teilblock = 300 Bit = 0.6 Sekunden

Die Blöcke werden innerhalb der 12.5 Minuten unterschiedlich häufig gesendet (Almanach häufiger, Ionosphären-Korrekturdaten nur einmal). Einige Blöcke werden von allen Satelliten mit gleichem Inhalt gesendet (z.B. Almanach), andere nur vom zuständigen Satelliten (z.B. Ephemeriden).

--Josef H. Gerstenberg 13:32, 25. Mär 2005 (CET)

Historisches

Ich vermute, daß einiges verwirrendes aus der Geschichte des GPS im Artikel enthalten ist:

Positionsbestimmung

"Theoretisch reichen dazu die Signale aus drei Satelliten, da daraus die genaue Position und Höhe bestimmt werden kann. In der Praxis haben aber die meisten GPS-Empfänger keine Uhr, die genau genug ist, um daraus die Laufzeiten korrekt berechnen zu können. Deshalb wird meist das Signal eines vierten Satelliten benötigt."

• Ich habe noch nie einen GPS-Empfänger mit Atomuhr gesehen. Es gibt ein paar in den Controlcentern des GPS. Muß das ein User wissen?
• Bei dem normalen Betrieb eines GPS-Empfängers werden alle empfangenen Satelliten genutzt. Das Ding mit 3-4 Satelliten stammt aus der Soft- und Hardware-Steinzeit des GPS-Systems.
• Um eine Position berechnen zu können, sind bei 99.99% der GPS-Empfänger 4 Satelliten notwendig.
• Mit 3 Satelliten ist über eine sehr kurze Zeit auch noch eine Positionsberechnung möglich, wenn vorher die Empfängeruhr gestellt worden ist. Es gibt da folgende Möglichkeiten:
  • Die Empfängeruhr wird nicht mehr korrigiert.
  • Die Höhe wird festgehalten.

Genauigkeit

Der Begriff Genauigkeit gefällt mir nicht - Positionsfehler finde ich besser. Wie die US-Militärs das GPS nutzen - darüber gibts fast keine Informationen. Also sollten vermutliche und mit großer Sicherheit falsche Informationen über den Positionsfehler dieses Nutzerkreises nur am Rande erwähnt werden.

Den Positionsfehler kann mit sehr unterschiedliche Methoden bestimmen. Hier nur einige:

• Z.B. bei einem Garmin-Empfänger die EPE-Anzeige -> Hat irgendwas mit dem Positionsfehler zu tun.
• Mal für einige Minuten auf einem Festpunkt mit einem Empfänger messen (Punkt dessen Koordinaten bekannt sind). -> Das Ergebnis ist vom kurzfristigen Zustand des GPS, des Empfängers, der Tropo- und Ionosphäre und der näheren Umgebung abhängig.
• Tage bis Wochen auf einem Festpunkt messen. -> Das Ergebnis ist trotzdem sehr variabel, weil sich das GPS und die Ionosphäre auch langfristig verändern.

Ergebnis: Es gibt für für das GPS und für einen Empfänger nur einen aktuellen Positionsfehler. Den kann man über kurze und lange Zeit mit einer bestimmten Zuverlässigkeit abschätzen.

Der Positionsfehler kann mit sehr unterschiedlichen Methoden berechnet werden. Alle Methoden, die einen Zeitraum < 1 Tag nutzen, halte ich grundsätzlich für ein Zufallsprodukt. Hier nur einige Methoden für Messungen >= 24 Stunden:

• Mittlere Lageabweichung (Mittelwert aller Positionen im Meßzeitraum verglichen mit den Festpunktkoordinaten) -> fast nur interessant für Langzeitmessungen.
• Standardabweichung des Positionsfehlers -> schon interessanter, da eine Einschätzung möglich ist, in welchem Bereich der Positionsfehler bei kurzfristigen Messungen liegt.
• 68% der Häufigkeitsverteilung des Positionsfehlers ->
• 95% der Häufigkeitsverteilung des Positionsfehlers ->

!!!! Ich mache weiter - bin jetzt zu müde.

--Josef H. Gerstenberg 21:09, 25. Mär 2005 (CET)

oben gibt es bereits eine Überschrift zur Genauigkeit vielleicht kannst du das dahin verschieben. Unter Historisches paßt es nicht so gut. Nun zu meiner Frage, wie groß schätzt du den Positionsfehler oder die Genauigkeit wenn man über ca. 1 min den Mittelwert bildet? Mehr oder weniger als 5 m? Messungen über 24 Stunden sind etwas schwierig durchzuführen.Kolossos 09:46, 20. Apr 2005 (CEST)

Verschiebung

Ich habe die Verschiebung nach "Globales Positions System" rückgängig gemacht. Nicht nur, dass der Benutzer, der der Meinung ist, wir sollten hier doch deutsch schreiben, anscheinend absolut keine Ahnung von der deutschen Sprache hat, auch ist dies ein feststehender Eigenname. MfG --APPER\^☺☹ 17:35, 27. Apr 2005 (CEST)

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Hm, ich habe doch gar nichts im Text selbst verändert, so dass mein "schlechtes" Deutsch doch gar nicht zum Vorschein kommen konnte. Auf jeden Fall wird im Roman SAKRILEG (Erfolgsbuch in Deutschland) vom Globalen Positions System gesprochen. Dies entspricht genau der Abkürzung GPS. Das ganze ist wahrscheinlich mit ISDN vergleichbar, was ja Integriertes System Daten Netz bedeutet, wobei dies zugegebener Maßen ja von deutschen Ingenieuren erfunden wurde. Leider weiß ich technisch nicht, wie man eine Rückgängigmachung wieder rückgängig machen kann? Rolz-reus 21:39, 27. Apr 2005 (CEST)--

Auf einen Roman sollte man sich nicht stützen. Wenn dann müsste das ganze in korrektem Deutsch "Globales Positionierungssystem" oder vielleicht noch "Globales Positionierungs-System" heißen. Aber da das ganze kein Gattungsbegriff oder ähnliches ist sondern eine Bezeichnung für ein spezielles Produkt, bleiben wir beim offiziellen Namen, den dieses Produkt hat. Wenn du ein Milky Way essen willst, fragst du ja auch nicht nach einer Milchstraße und besitzt keine Spielwürfel von In Gottes Händen. MfG --APPER\^☺☹ 00:10, 28. Apr 2005 (CEST)

ISDN heißt "Integrated Services Digital Network" und ist eine englischsprachige Abkürzung. Im Übrigen muss ich APPER zustimmen.

Vorschlag wegen Formeln

Hallo Leute. Ich hab die Diskussion um die Integration von Herleitungen mal kurz überflogen. (ich fang mal neu an, dann kann man das alte archivieren) Also in Wikipedia sind sie nicht so gut aufgehoben, aber in einem Lehrbuch in Wikibooks durchaus. Genau passend wäre beispielsweise ein "Lehrbuch Gedodäsie". In diesem Lehrbuch werden dann die verschiedenen Berechnungsmethoden hergeleitet, erklärt und mit Beispielen gerechnet, wie in jedem anderen (Ingenieurs-)Lehrbuch auch. Und das beste ist, man kann auf dieses Lehrbuch, oder bestimmte Kapitel davon (in Wikibooks sind Kapitel bei zu großen Büchern eine eigene Unterseite) mittels Wikilinks verweisen. Also mit [[b:Schwingbewegungen|Schwingbewegungen]] erhält man einen hellblauen Interwikilink der so aussieht: Schwingbewegungen. Sowas kann man dann geeignet im Artikel platzieren. Das sollte doch die Lösung für euch sein oder? Und ich bin mir sicher, Wikibooks würde sich über ein paar mehr Autoren freuen. ;-) Arnomane 22:33, 4. Mai 2005 (CEST)