Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Zahlen sind eine festgelegte Folge von positiven ganzen Zahlen und wurden um ca. 1200 von Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa) entdeckt. Ursprünglich dienten sie ihm dazu, das Wachstum einer Kaninchenpopulation zu beschreiben.

Definition der Fibonacci-Zahlen

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

• f(1) = 1
• f(2) = 1
• f(n+2) = f(n) + f(n+1)

Das bedeutet, dass

• die ersten beiden Zahlen als eins festgelegt sind
• dass folgende Zahlen durch Summieren der beiden jeweils vorangehenden erhalten werden.

Daraus ergibt sich die Folge zu:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

Manchmal werden als Startwerte auch 0 und 1 genommen, es ergibt sich damit die um eine Stelle verschobene Fibonacci-Folge

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

Formel von Binet

Will man die Fibonacci-Zahl für ein großes n berechnen, so ist das mit dem angegebenen Bildungsgesetz recht umständlich, weil man zunächst alle vorhergehenden Fibonacci-Zahlen berechnen muss. Wünschenswert wäre deshalb eine geschlossene Formel, mit der man eine Fibonacci-Zahl direkt - ohne Kenntnis der vorhergehenden Zahlen - berechnen kann.

Tatsächlich hat der französische Mathematiker Jacques-Philippe-Marie Binet bereits 1843 eine solche geschlosssene Darstellung angegeben:

$f(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}(a^{n+1}-b^{n+1})\ mit\ a={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\ und\ b={\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})$

Diese Formel ist bekannt als Formel von Binet.

Näherungsformel für große n

Für große Werte von n kann man den Ausdruck bⁿ⁺¹=-0,618033989 ⁿ⁺¹ gegenüber dem Ausdruck aⁿ⁺¹=1,618033989ⁿ⁺¹ vernachlässigen. Dann erhält man die Näherungsformel

$f(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}a^{n+1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\approx 0,223606798\cdot 3,236067977^{n+1}$

Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder f(n+1)/f(n) dem Goldenen Schnitt an.

Dies kann man sehr einfach einsehen, wenn man die obige Näherungsformel für große n benutzt:

${\frac {f(n+1)}{f(n)}}=a={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})$

Computerprogramm

Wie sieht ein Programm aus, das die Fibonacci-Zahlen ausrechnet ?

Sub 
  a = 0
  b = 1
  For x = 1 To 100
    Print a
    Print b
    a = a + b
    b = a + b
  Next x
End Sub

Weblinks

• http://www.mathekiste.de/fibonacci/inhalt.htm
  • Schulprojekt über Fibonacci-Zahlen in der Mathematik und der Umwelt
• http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html
  • Sehr ausfühliche und verständliche Darstellung
• http://www.pijnappel2.tmfweb.nl/de/fibo.htm
  • Fibonacci-Zahlen bei Brettspielen
• http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
  • Ausführliche Seite auf Englisch
• http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Fibonacci.html
  • Weitere englische Seite
• http://www.jonelo.de/java/bigal_de.html
  • Freies und plattformunabhängiges Programm, u. a. zur unbegrenzten Berechnung von Fibonacci-Zahlen (mit Java-Quelltext)