Subfakultät

Die Subfakultät ist eine mathematische Funktion, die hilfreich bei der Berechnung von bestimmten Permutationen ist.

Berechnung für !n

!n=n!\left[1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right]=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}

Die ersten 11 Subfakultäten sind !0 = 0, !1 = 0, !2 = 1, !3 = 2, !4 = 9, !5 = 44, !6 = 265, !7 = 1 854, !8 = 14 833, !9 = 133 496 und !10 = 1 334 961 (Sequenz A000166 in OEIS)

Beispiel einer Anwendung

Angenommen man hat 6 verschiedenfarbige Kugeln, und zu jeder Kugel ein Kästchen in der passenden Farbe. Weiter angenommen jede der Kugeln liegt in einem der Kästchen, wieviele Möglichkeiten gibt es, dass keine der Kugeln in einem Kästchen ihrer Farbe liegt.

Des Rätsels Lösung: Es sind $!6=6!*\left[1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{5!}}+{\frac {1}{6!}}\right]=265$ Möglichkeiten.

Im Gegensatz zur Subfakultät werden bei der Fakultät alle Möglichkeiten (Permutationen) berechnet.

Weitere Möglichkeiten zur Berechnung

Es existiert eine Folge mit den Anfangsgliedern a₀=1 und a₁=1, und der rekursiven Berechnungsvorschrift:

a_{n}=n*a_{n-1}+(n-1)*a_{n-2}

so dass folgende Folge entsteht: 1, 1, 3, 11, 53, 309, 2 119 ... (Sequenz A000255 in OEIS)

Die Subfakultät läßt sich nun nach folgender Formel berechnen:

!n=(n-1)*a_{n-2}

!n	0	0	1	2	9	44	265	1.854	14.833	133.496	1.334.961
n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a_n	1	1	3	11	53	309	2.119	16.687	148.329	1.468.457	16.019.531

$!n\approx {\frac {n!}{e}}$ stellt eine sehr gute Näherung dar.

Diese Näherung läßt sich durch das Abschneiden des Nachkommateils und die Addition von Eins als Korrekturfaktor für kleine n zu der untenstehenden Formel verfeinern:

Für $n\geq 1$ : $!n=\left\lfloor {\frac {n!+1}{e}}\right\rfloor$ nach Mehdi Hassani.

Subfakultative narzisstische Zahl

Die einzige Zahl, die gleich der Summe ihrer der Subfakultät unterzogenen Ziffern ist, lautet:

148 349 = !1 + !4 + !8 + !3 + !4 + !9

Weblinks

|http://mathworld.wolfram.com/Subfactorial.html