Geordnetes Paar

Ein geordnetes Paar ist, ähnlich einer zweielementigen Menge, eine Struktur, die zwei Objekte enthält, bei der jedoch zwischen einem ersten Element und einem zweiten Element unterschieden werden kann. Ein geordnetes Paar mit dem ersten Element a und dem zweiten Element b wird gewöhnlich als (a, b) geschrieben. Die Schreibweise (a, b) wird manchmal auch für offene Intervalle verwendet, wobei die Bedeutung jedoch meist aus dem Zusammenhang ersichtlich ist.

Zwei geordnete Paare (a₁, b₁) und (a₂, b₂) sind genau dann gleich, wenn a₁ = a₂ und b₁ = b₂.

Die Menge aller geordneter Paare deren erstes Element in der Menge X enthalten ist, und deren zweites Element in einer Menge Y enthalten ist, wird kartesisches Produkt von X und Y genannt und als X × Y geschrieben. Alle Teilmengen von X × Y sind binäre Relationen, wie zum Beispiel Funktionen oder Ordnungsrelationen.

In der axiomatischen Mengenlehre, in der allen mathematischen Objekten mengentheoretische Definitionen gegeben werden, ist das geordnete Paar (a, b) als die Menge { {a}, {a, b} } definiert. Die Aussage "x ist das erste Element eines geordneten Paares" kann dann geschrieben werden als:

∀ Y ∈ p : x ∈Y

Entsprechend ist "x ist das zweite Element eines geordneten Paares":

(∃ Y ∈ p : x ∈ Y) ∧ (∀ Y₁ ∈ p, ∀ Y₂ ∈ p : Y₁ ≠ Y₂ → (x ∉ Y₁ ∨ x ∉ Y₂)).

"Verschachtelung" von Paaren in der Form (a,(b,c)) ist ein formaler Zugang zu n-Tupeln für n > 2, also geordneten Listen von mehr als zwei Elementen.