Geometrie

Die Geometrie (griech. „Landmessung“) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit Punkten und Geraden als Grundobjekten.

Allgemein beschreibt Geometrie eine Menge von Punkten ohne spezifische Struktur. Eine Unterscheidung kann aufgrund der lokalen Dimensionalität einer Geometrie getroffen werden:

Eine Kurve beschreibt eine Geometrie, die lokal eine eindimensionale Struktur besitzt.
Eine Fläche beschreibt eine Geometrie, die lokal eine zweidimensionale Struktur besitzt.
Ein Körper bzw. ein Volumen beschreibt eine Geometrie, die lokal eine dreidimensionale Struktur besitzt.

Es gibt nicht eine einzige Geometrie, sondern viele als Geometrie bezeichnete Systeme in der Mathematik, die jeweils ihre eigenen Axiome besitzen.

Die der Anschauung zugänglichste euklidische Geometrie macht Aussagen über Kreise, Dreiecke, die Platonischen Körper, etc.

Themenbereiche

Geometrien

Verschiedene Klassifikationen sind möglich:

Klassifikation nach den gültigen Axiomen (vergleiche die Artikel Euklidische Geometrie, Euklids Elemente):

Geordnete Geometrie: Jede Geometrie, in der die ersten zwei der fünf Euklidischen Postulate gelten.
Projektive Geometrie
Affine Geometrie
Absolute Geometrie: Jede Geometrie, in der die ersten vier der fünf Euklidischen Postulate gelten.
Euklidische Geometrie: Absolute Geometrie, in der das Parallelenpostulat gilt.
Nichteuklidische Geometrie: Absolute Geometrie, in der das Parallelenpostulat nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien.

Klassifikation nach den Transformationsgruppen, unter denen bestimmte geometrische Eigenschaften invariant bleiben (Felix Klein, Erlanger Programm):

Projektive Geometrie, Invarianten: Doppelverhältnis von vier Punkten, Inzidenz (=Schnittpunkte von Geraden).
Affine Geometrie, zusätzliche Invarianten: Parallelität, Teilverhältnis, Flächeninhaltsverhältnis.
Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzliche Invarianten: Streckenverhältnis, Winkel.
Kongruenzgeometrie, zusätzliche Invariante: Streckenlänge.

Verbindung von Geometrien mit anderen Zweigen der Mathematik

Tätigkeiten und Werkzeuge in der Geometrie

Zirkel (Gerät) und Lineal
Geodreieck
Computer
Spiegeln, Verschieben, Drehen, Vergrößern, Verkleinern
Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, Volumen, Verhältnisse usw.
Geometrie im Koordinatensystem mit Angabe der Kurvengleichung (Spezielle Kurven)
Konstruktionsobjekte, z.B. Kegelschnitte

Geometrieprogramme

Es existiert eine Vielzahl an interaktiven Geometrieprogrammen:

GeoGebra (kostenlos)
GEONExT (kostenlos)
DynaGeo Euklid (shareware)
Cabri-Geometre
Geometer's Sketchpad
Cinderella (kostenlos)
Z.u.L. (kostenlos) uvm.

u.a. ermöglichen die zeichnerische Erforschung der Geometrie ohne auf eine Vorgabe festgelegt zu sein. Interaktiv bedeutet hier, dass eine einmal genau festgelegte Konstruktion erhalten bleibt, auch wenn man die Ausgangsobjekte verändert.

Siehe hierzu Dynamische Geometrie.

Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619)

Geschichte der Geometrie

„Geometriae practicae novae et auctae tractatus“, Daniel Schwenter (1641)

In den frühen Hochkulturen gaben

Landvermessung,
astronomische Beobachtungen und
der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken

erste Anstöße zu geometrischen Überlegungen.

Es mussten

Winkel gemessen und konstruiert,
Flächen- und Rauminhalte berechnet

werden.

Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse. Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie zum Beweis algebraischer und zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. "Die Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie.

Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreieckslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam.

In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.

Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie (Descartes Anhang "La Géométrie" zu "Méthode pour bien conduire sa raison, ..." 1637, Leiden) und
im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
Das 19. Jh. bringt wieder eine stärkere Hinwendung zur klassischen Geometrie. Das euklidische Parallelenpostulat wird durch Angabe nichteuklidischer Geometrien abgeändert. Es werden die Klassische Probleme Der Antiken Mathematik (Quadratur des Kreises, Würfelverdopplung, Dreiteilung des Winkels) mit algebraischen Methoden gelöst.

In der Topologie, der Graphentheorie und der algebraischen Geometrie werden Methoden der Geometrie mit anderen Zweigen der Mathematik verknüpft.

Im 20. Jh. wird die Geometrie durch moderne Axiomensysteme neu begründet. Durch die fraktale Geometrie wurde es möglich, auch natürliche Gegenstände wie Bäume, Berge oder Wolken geometrisch zu modellieren.

Die Darstellende Geometrie ist in Gestalt der Computersimulation zu einem wichtigen Hilfsmittel in vielen Bereichen unseres Lebens geworden.

Literatur

Euklid: Die Elemente.
H. M. S. Coxeter: Introduction to Geometry.

Siehe auch

Weblinks

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