Diskussion:Direkte Summe

TODO

Ich denke, dieser Artikel muss in folgender Hinsicht verbessert werden:

• Unterscheidung zwischen innerer direkter Summe und äußerer direkter Summe
• Zusammenhang mit dem direkten Produkt (scheint für mich nur ein anderer Name zu sein?!)

Vielleicht reicht es schon, Inhalte der englischen Version zu übersetzen. --SirJective 14:09, 5. Nov 2004 (CET)

Vorneweg: für eine endliche direkte Summe erhält man genau das kartesische Produkt. Für unendliche Indexmengen unterscheiden sie sich aber immer.

Mir scheinen einige Punkte etwas sonderbar beim Teil über das äussere direkte Produkt:

• Es reichen meiner Meinungen nach beliebige Mengen. Natürlich geht das auch mit zusätzlicher Struktur, aber die wird nachher nicht mehr direkt erwähnt. Der allgemeine Ansatz wird jedenfalls im Artikel kartesisches Produkt angesprochen.
• Auf die Voraussetzung, dass nur die Null als gemeinsames Element existieren darf, kann meine Meinung nach verzichtet werden. Dem kartesischen Produkt ist das auf jeden Fall egal, und hier nimmt man einfach eine Teilmenge davon. Vermutlich st das ein Überbleibsel einer alten Version, wo zwischen innerer und äusserer direkten Summe noch nicht unterschieden wurde.
• Sobald man bei den Mengen etwas mehr Struktur, wird natürlich alles interessanter, weil bei den im Artikel genannten Beispielen eine gleichartige Struktur auf der direkten Summe definiert werden kann. Für diesen Teil lohnt sich sicher ein Blick in den englischen Artikel en:Direct sum of modules.

Ich nehme diesen Artikel sicher auf meine Todo-Liste, bin aber nicht traurig, wenn mir jemand zuvorkommt. --UrsZH 15:22, 8. Sep 2005 (CEST)

Die universelle Eigenschaft der direkten Summe sollte noch hinein, da dies eine weitere eindeutige Definition derselben ist. Auf http://mathestudium.com/mathe/index.php/Universelle_Eigenschaften#Satz_1.3_.28Universelle_Eigenschaften_der_direkten_Summe.29 findet man einen Text, den man übernehmen könnte. Es müssen noch nicht einmal Vektorräume sein. Moduln würden auch funktionieren. Gruß, Alex

Charakterisierung der inneren direkten Summe

Meines Wissens kann man die innere direkte Summe auch so charakterisieren, dass man für die Unterräume $(U_{i})_{i\in I}$ von $V$ folgende Voraussetzungen verlangt:

• $U_{i}\cap U_{j}=\{0\}$ für $i\neq j$

• $\sum _{i\in I}U_{i}=V$ (wobei mit der Summenbildung hier das Komplexprodukt gemeint ist)

Diese Forderungen sind, meines Wissens, bei Vektorräumen dazu äquivalent, dass $V$ die innere direkte Summe der $U_{i}$ ist. Bei Gruppen beötigt man zusätzlich noch die Forderung, dass die $U_{i}$ Normalteiler in $V$ sind. Da Vektorräume aber abelsche Gruppen sind, ist das hier immer erfüllt.

Der Beweis benutzt die Eindeutigekeit der Zerlegung und zeigt, dass für den Fall, dass zwei Unterräume einen nicht-trivialen Schnitt haben, die Elemente in diesem Schnitt keine eindeutige Zerlegung (bzgl. der Unterräume) haben.

Ich bin mir nur gerade nicht ganz sicher ob ich im Fall, dass $I$ unendlich ist, noch etwas übersehen habe. Daher wäre ich um eine Stellungnahme dankbar und werde das noch nicht in den Artikel einfügen. --Redmaniac 10:13, 4. Jan. 2009 (CET)

Nein, diese Charakterisierung stimmt meiner Meinung nach schon bei drei Summanden nicht mehr. Beispiel: Nimm den R^2 (als R-Vektorraum oder auch nur als additive Gruppe). Als U_1 nehmen wir die x-Achse, als U_2 die y-Achse und als U_3 eine andere Ursprungsgrade, z.B. die Grade "y=x". Der Schnitt von zwei solchen Graden ist immer {0} und die Summe ist alles, aber die Summe ist trotzdem nicht direkt, weil die Eindeutigkeit offensichtlich nicht gegeben ist.

Deine Charakterisierung gibt also wirklich nur im Falle von 2 Summanden den richtigen Begriff. Mit bedauernden Grüßen, --Cosine 13:27, 6. Jan. 2009 (CET)

Bin zwar kein Algebraiker, aber das Problem scheint in der Tat der erste Punkt zu sein. Man muss fordern, dass die $U_{i}$ unabhängig sind (und ersetzt man den ersten Punkt oben dadurch, stimmt die Charakterisierung wohl auch). Die Unabhängigkeit ist jedoch nur im Fall von zwei Unterräumen $U_{1},U_{2}$ äquivalent zu $U_{1}\cap U_{2}=\{0\}$. Die Forderung oben besagt also, dass die Unterräume paarweise unabhängig sind, was aber zu wenig ist. --Sabata (D|WZ) 13:53, 6. Jan. 2009 (CET)