Kugel
Eine Kugel ist in der Mathematik ein Körper, der nur aus einer Oberfläche besteht und deshalb hohl ist. Im nicht-mathematischen Zusammenhang wird eine Kugel oft als Festkörper betrachtet (mathematisch das Innere der Kugel).
Genauer ist eine Kugel die Menge aller Punkte bzw. der geometrische Ort aller Punkte im 3-dimensionalen Euklidischen Raum, die den Abstand r von einem festen Punkt des Raumes haben. r ist dabei eine positive reelle Zahl, genannt Radius der Kugel.
Eine Kugel mit Zentrum(x0, y0, z0) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x,y,z), so dass
- (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = r2
Die Punkte auf der Kugel mit Radius r und Zentrum im Ursprung können wie folgt parametrisiert werden:
- x = r cos(φ) sin(θ)
- y = r sin(φ) sin(θ) (0 ≤ θ < π und -π < φ ≤ π)
- z = r cos(θ)
(siehe auch trigonometrische Funktionen und Kugelkoordinaten).
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist 4πr2, ihr Volumen ist 4πr3/3. Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen (ohne Gravitation) sind Kugeln, weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren.
Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat das 3/2-fache Volumen der Kugel. Das sowie die Oberflächen- und Volumen-Formeln waren bereits Archimedes bekannt.
Eine Kugel kann auch als diejenige Fläche definiert werden, die bei der Rotation eines Kreises um seinen Durchmesser entsteht. Wird der Kreis durch eine Ellipse ersetzt, entsteht ein Sphäroid.
Kugeln können auf andere Dimensionen erweitert werden. Für jede natürliche Zahl n ist eine n-Kugel definiert als die Menge von Punkten im (n+1)-dimensionalen Euklidischen Raum, die den Abstand r von einem festen Punkt des Raumes haben wobei r eine positive reelle Zahl ist.
Eine 2-Kugel ist also eine gewöhnliche Kugel, während eine 1-Kugel ein Kreis und eine 0-Kugel ein Punkte-Paar ist. Die n-Kugel mit Einheitsradius mit Zentrum im Ursprung wird mit Sn bezeichnet und heißt oft "die" n-Kugel.
Eine n-Kugel ist ein Beispiel einer kompakten n-Mannigfaltigkeit.