Hexakisikosaeder

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Das Triakistetraeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus zwölf gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Tetraederstumpf und hat acht Ecken sowie 18 Kanten.

Entstehung

Werden auf alle vier Begrenzungsflächen eines Tetraeders Pyramiden mit der Flankenlänge b aufgesetzt, entsteht ein Triakistetraeder, sofern die Bedingung ${\tfrac {a}{3}}{\sqrt {3}}<b<{\tfrac {a}{2}}{\sqrt {2}}$ erfüllt ist.

Für $b={\tfrac {a}{3}}{\sqrt {3}}$ haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Tetraeder mit der Kantenlänge a übrig bleibt.
Das spezielle Triakistetraeder mit uniformen Flächenwinkeln entsteht, wenn $b={\tfrac {3}{5}}a$ ist.
Nimmt b den Wert ${\tfrac {a}{2}}{\sqrt {2}}$ an, entarted das Triakistetraeder zu einem Würfel mit der Kantenlänge b.
Ist $b>{\tfrac {a}{2}}{\sqrt {2}}$ , so ist das Polyeder nicht mehr konvex.

Formeln

Allgemein

Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlängen a, b
Volumen	$V\,=\,{\frac {a^{2}}{12}}\left(a{\sqrt {2}}+4{\sqrt {3b^{2}-a^{2}}}\right)$
Oberflächeninhalt	$O\,=\,3a{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}$
Pyramidenhöhe	$k\,=\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {9b^{2}-3a^{2}}}$
Inkugelradius	$\rho \,=\,{\frac {a}{12}}{\sqrt {\frac {48b^{2}-14a^{2}+8a{\sqrt {6b^{2}-2a^{2}}}}{4b^{2}-a^{2}}}}$
Flächenwinkel (über Kante a)	$\cos \,\alpha _{1}={\frac {5a^{2}-12b^{2}-8a{\sqrt {6b^{2}-2a^{2}}}}{9(4b^{2}-a^{2})}}$
Flächenwinkel (über Kante b)	$\cos \,\alpha _{2}={\frac {2b^{2}-a^{2}}{4b^{2}-a^{2}}}$

Speziell

Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlängen a
Volumen	$V\,=\,{\frac {3}{2}}a^{3}$
Oberflächeninhalt	$O\,=\,3a^{2}{\sqrt {5}}$
2. Seitenlänge	$b={\frac {3}{4}}a$
Pyramidenhöhe	$k\,=\,{\frac {a}{4}}$
Inkugelradius	$\rho \,=\,{\frac {3}{10}}a{\sqrt {5}}$
Flächenwinkel ≈ 143,13°	$\cos \,\alpha =-{\frac {4}{5}}$

Weblinks

Eric W. Weisstein: Triakistetraeder. In: MathWorld (englisch).