Subtraktion

Unter der Subtraktion (auch Minus-Rechnen) versteht man das Abziehen einer Zahl von einer anderen. Mathematisch handelt es sich bei der Subtraktion um eine zweistellige Verknüpfung. Die Subtraktion gehört zu den Grundrechenarten der Arithmetik. Die Umkehroperation der Subtraktion ist die Addition.

Grundlegendes

Das Rechenzeichen für die Subtraktion ist das Minuszeichen „−“. Es wurde 1489 von Johannes Widmann eingeführt.

Die Zahl, von der etwas abgezogen wird, heißt Minuend (lateinisch: „der zu verringernde“).

Die Zahl, die abgezogen wird, heißt Subtrahend (lateinisch: „der abzuziehende“).

Der Rechenausdruck (Term), der den Minuenden, das Minus-Zeichen und den Subtrahenden umfasst, heißt Differenz.

Das Ergebnis einer Subtraktion ist der Wert der Differenz (auch Differenzwert oder auch kurz nur Differenz).

Ihr Symbol ist das groß-Delta-Zeichen Δ, das auch als Operator für die Differenzbildung benutzt wird (siehe unten).

Merkhilfe:

Minuend minus Subtrahend gleich Wert der Differenz.

Wert der Differenz = Minuend − Subtrahend

oder

Minuend − Subtrahend = Wert der Differenz

(Eselsbrücke : Minuend kommt im Alphabet vor Subtrahend )

Beispiel:

1 weniger 4 ist −3
4 weniger 1 ist 3 oder anders geschrieben: 4 − 1 = 3.
Exakt formuliert heißt das auch: 4 minus 1 ist gleich 3.
Dabei ist 4 der Minuend, 1 stellt den Subtrahenden dar, der Rechenausdruck (Term) 4 − 1 ist die Differenz und das Ergebnis 3 bildet den Wert der Differenz bzw. den Differenzwert.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist bezüglich der Subtraktion nicht abgeschlossen, das heißt mit der Subtraktion erzielt man eventuell (wenn der Subtrahend größer oder gleich dem Minuenden ist) ein Ergebnis, das den Bereich der natürlichen Zahlen überschreitet.

Beispiele: 1 − 4 = −3 oder 4 − 4 = 0

Mathematische Definition

Die Subtraktion ist die inverse Funktion der Addition. In Gruppen lässt sich zu jedem gegebenen $a$ und $b$ ein $x$ finden, so dass gilt:

b+x=a

Die Bestimmung von $x$ heißt Subtraktion. $x$ lässt sich bestimmen, indem man $b$ von $a$ subtrahiert („abzieht“):

x=a-b

$a$ heißt der Minuend, $b$ der Subtrahend. Das Ergebnis einer Subtraktion, hier $x$ , heißt Wert der Differenz. Eine Subtraktion wird mit dem Minuszeichen notiert:

a-b

Findet die Subtraktion zwischen zwei Gliedern einer mathematischen Folge $\{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ statt, so schreibt man kurz $\Delta x\$ für $\ x_{n}-x_{m}$

Rechenhilfe

Da die Subtraktion nichts anderes als eine Addition mit dem inversen Element ist, kann eine Subtraktion auch in Form einer Addition geschrieben werden, indem der Subtrahend vorher mit dem Faktor −1 multipliziert wird:

$a-b=a+(-1)\cdot b=a+(-b)$

Schriftliche Subtraktion

Die schriftliche Subtraktion ist neben der schriftlichen Addition eine der grundlegenden Kulturtechniken, die bereits in den ersten Schuljahren der Grundschule erlernt wird. In dem heutzutage vorherrschenden Stellenwertsystem sind dabei nur zwei Teiltechniken zu erlernen: Die Subtraktion einstelliger Zahlen von Zahlen bis maximal 19 und das Handhaben der Überträge.

Die zu subtrahierenden Zahlen werden so untereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen. Die Zahlen werden also rechtsbündig angeordnet. Nun beginnt man, indem man nur die letzten Ziffern der Zahlen subtrahiert und das Ergebnis als Einerstelle des Endergebnisses notiert. Dieser Vorgang wird solange nach links fortschreitend fortgeführt, bis die vorderste Stelle erreicht ist.

Problematisch wird es immer nur dann, wenn die zu subtrahierende Ziffer größer als die darüberstehende Ziffer ist. Wie in einem solchen Fall vorzugehen ist, ist abhängig vom jeweiligen Verfahren:

Abziehen mit Entbündeln und Erweiterungstechnik
Ergänzungsverfahren, auch Auffülltechnik genannt

Die Beherrschung der schriftlichen Subtraktion ist Voraussetzung für das Erlernen der schriftlichen Division.

Siehe auch

Vektorsubtraktion

Weblinks