Logische Äquivalenz

Die Logische Äquivalenz beschreibt in der Logik die Werteverlaufsgleichheit von Aussagen, ähnlich wie das Gleichheitszeichen in der Algebra.

Eine Aussage A = A(a,b,c,...) ist logisch äquivalent zur Aussage B = (a,b,c,...), wenn der Werteverlauf (Wahrheitstabelle) der beiden Aussagen gleich ist. Das heißt, dass für gleiche a,b,c,... der Wert der Aussage A(a,b,c,...) gleich dem Wert der Aussage B(a,b,c,...) ist.

Beispiel

Sei

$A(a,b,c)=(a\land b)\lor c$

und

$B(a,b,c)=(a\lor c)\land (b\lor c)$

dann gilt: A ist logisch äquivalent zu B.

Schreib- und Sprechweisen

Für A äquivalent B schreibt man in der Mathematik

$A\Longleftrightarrow B$

Man sagt:

• A (ist) äquivalent (zu) B
• A (gilt), genau dann, wenn (und nur dann), wenn B

Man schreibt ebenfalls

• A gdw. B

Für A ist logisch äquivalent zu B schreibt man in der Logik:

$A\equiv B$

Man sagt:

• A ist logisch äquivalent zu B
• A ist Werteverlaufsgleich mit B
• A ist logisch gleichwertig zu B

Dies rührt daher, daß in der Logik auch die Äquivalenz von Formeln symbolisiert werden kann, wobei Formeln das Äquivalenzsymbol $\Longleftrightarrow$ enthalten. Dies veranschaulicht folgendes Beispiel am Besten: $A\Longleftrightarrow B\equiv (A\Rightarrow B\wedge B\Rightarrow A)$.

Satz

$A\equiv B$ genau dann, wenn $A\leftrightarrow B$ Tautologie ist.

Siehe auch

• Prädikatenlogik
• Aussagenlogik
  • Äquivalenz