Maximales Ideal

Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.

Bemerkungen

• Mit Hilfe des Lemmas von Zorn kann man zeigen, dass jedes Element aus $R$, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss.
• Bildet man den Faktorring $L=R/{\mathfrak {m}}$, so ist $L$ genau dann ein Körper, wenn ${\mathfrak {m}}$ maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
• Jedes maximale Ideal ist ein Primideal. Dies folgt aus der letzten Bemerkung und daraus, dass jeder Körper ein Integritätsbereich ist.
• Jedes Ideal ist in einem maximalen Ideal enthalten.

Beispiele

• Im Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist jedes Primideal außer dem Nullideal maximal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig; Integritätsbereiche mit dieser Eigenschaft heißen eindimensional.
• Sei $C(\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen mit der punktweisen Multiplikation. Betrachte den Ringhomomorphismus

$\mathrm {ev} _{0}\colon C(\mathbb {R} )\rightarrow \mathbb {R} ,\quad f\mapsto f(0).$

Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von $\mathrm {ev} _{0}$ ist $\mathbb {R}$, also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit $f(0)=0$, ein maximales Ideal.