Lerchsche Zeta-Funktion

Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

Definition

Die beiden Funktionen

$L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi \mathrm {i} \lambda n)}{(n+\alpha )^{s}}}$

und

$\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}$

werden als Lerchsche Zeta-Funktion oder "Transzendente Lerch-Funktion" bezeichnet. Die Verwandtschaft der beiden ist durch

$\,\Phi (\exp(2\pi \mathrm {i} \lambda ),s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s)$

gegeben.

Spezialfälle und spezielle Werte

• Die Hurwitzsche Zeta-Funktion:

$\,\zeta (s,n)=L(0,n,s)=\Phi (1,s,n)$

• Der Polylogarithmus:

$\,{\textrm {Li}}_{s}(z)=z\cdot \Phi (z,s,1)$

• Die Legendresche Chi-Funktion:

$\,\chi _{n}(s)=2^{-n}\cdot z\cdot \Phi (s^{2},n,{\tfrac {1}{2}})$

• Die Riemannsche ζ-Funktion:

$\,\zeta (s)=\Phi (1,s,1)$

• Die Dirichletsche η-Funktion:

$\,\eta (s)=\Phi (-1,s,1)$

• Die Dirichletsche Beta-Funktion:

$\beta (s)=2^{-s}\cdot \Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right)$

Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):

$\Phi (z,s,1)={\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z}}$

$\Phi (z,0,a)={\frac {1}{1-z}}$

$\Phi (0,s,a)=\left(a^{2}\right)^{-{\frac {s}{2}}}$

$\Phi (0,s,a)=a^{-s}\,$

$\Phi (z,1,1)=-{\frac {\log(1-z)}{z}}$

$\Phi (1,s,{\tfrac {1}{2}})=(2^{s}-1)\zeta (s)$

$\Phi (-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta (s)\,$

$\Phi (0,1,a)={\frac {1}{\sqrt {a^{2}}}}$

Ferner ist

${\begin{aligned}&\Phi (-1,2,{\tfrac {1}{2}})&=&\;4G\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,1)&=&\;\ln \left({\frac {A^{3}}{{\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\sqrt[{4}]{e}}}}\right)\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-2,1)&=&\;{\frac {7\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,{\tfrac {1}{2}})&=&\;{\frac {G}{\pi }}\end{aligned}}$

mit der catalanschen Konstanten $G$, der Glaisher-Kinkelin-Konstanten $A$ und der Apery-Konstanten $\zeta (3)$ der Riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Formeln

Integraldarstellungen

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,\mathrm {d} t\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;{\begin{cases}&\mathrm {Re} (a)>0{\text{ und }}\mathrm {Re} (s)>0{\text{ und }}z<1\\{\text{oder }}&\mathrm {Re} (a)>0{\text{ und }}\mathrm {Re} (s)>1{\text{ und }}z=1\end{cases}}$

Das Kurvenintegral

$\Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi \mathrm {i} }}\int \limits _{0}^{(+\infty )}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,\mathrm {d} t\qquad \qquad \mathrm {Re} (a)>0,\;\mathrm {Re} (s)<0,\;z<1$

darf die Punkte $t=\log(z)+2k\pi \mathrm {i} ,\;k\in \mathbb {Z}$ nicht enthalten.

Ferner ist

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (e^{2\pi at}-1)}}\,\mathrm {d} t\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;\mathrm {Re} (a)>0{\text{ und }}|z|<1$

und

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}({\tfrac {1}{z}})}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log({\tfrac {1}{z}}))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (e^{2\pi at}-1)}}\,\mathrm {d} t\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;\mathrm {Re} (a)>0.$

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung für die transzendente Lerch ist

$\Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{-s}.$

Sie gilt für alle $s$ und komplexe $z$ mit $\mathrm {Re} (z)<{\tfrac {1}{2}}$; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls $s$ positiv und ganz ist, gilt

$\Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\Psi (n)-\Psi (a)-\log(-\log z)\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\}.$

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch

$\Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}}\qquad \qquad |x|<\mathrm {R} e(a)$

gegeben.

Ist $a=-n$, gilt

$\Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}}\qquad \qquad a\rightarrow -n$

Der Spezialfall $n=0$ hat folgende Reihe:

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}}\qquad \qquad |a|<1.$

Die Asymptotische Entwicklung für $s\rightarrow -\infty$ ist gegeben durch

$\Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[2k\pi \mathrm {i} -\log z\right]^{s-1}e^{2k\pi a\mathrm {i} }\qquad \qquad |a|<1,\;\mathrm {Re} (s)<0,\;z\notin (-\infty ,0)$

und

$\Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[(2k+1)\pi \mathrm {i} -\log(z)\right]^{s-1}e^{(2k+1)\pi a\mathrm {i} }\qquad \qquad |a|<1,\;\mathrm {Re} (s)<0,\;z\notin (0,\infty ).$

Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi \mathrm {i} (k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi \mathrm {i} (k-1)-\log z))}{(-2\pi \mathrm {i} (k-1)-\log z)^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi \mathrm {i} ka}\Gamma (1-s,a(2\pi \mathrm {i} k-\log z))}{(2\pi \mathrm {i} k-\log z)^{1-s}}}\qquad \qquad |a|<1,\;\mathrm {Re} (s)<0.$

Identitäten und weitere Formeln

$\Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}$

$\Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)$

$\Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a)$

$\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-xyz}}(-\ln(xy))^{s}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\Gamma (s+1){\frac {\Phi (z,s+1,v)-\Phi (z,s+1,u)}{u-v}}\qquad \;\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \,{\begin{cases}z\in \mathbb {C} \,\diagdown [1,\infty ){\text{ und }}\mathrm {Re} (s)>-2\\z=1{\text{ und Re}}(s)>-1\end{cases}}$

$\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {(xy)^{u-1}}{1-xyz}}(-\ln(xy))^{s}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\Gamma (s)\Phi (z,s+2,u)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;{\text{ebendann}}$

Literatur

• Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: $\scriptstyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}{\pi x}}}=\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+\nu )^{2}}}$, L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
• M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series $\scriptstyle _{2}\psi _{2}$, J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
• Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247-270; vgl. in arxiv
• Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 9781402010149 online

Weblinks

• Ramunas Garunkstis: Home Page (Referenzensammlung)
• Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function
• S. Kanemitsu, Y. Tanigawa und H. Tsukada: A generalization of Bochner's formula, (undatiert, 2005 oder früher)
• Eric W. Weisstein: Lerch Transcendent. In: MathWorld (englisch).