Maxwell-Gleichungen

Die vier Maxwellschen Gleichungen beschreiben die elktromagnetischen Felder und ihre zeitliche Abängigkeit vollständig in sowohl diferentieller als auch integraler Form.

Die Maxwellschen Gleichungen

Die Quellen elektromagnetischer Felder sind elektrische Ladungen und Ströme. Aus ihnen resultieren zeitabhängige elektrische und magnetische Felder. Die Maxwellschen Gleichungen beschreiben somit die Ursache, die Wirkung , die Wechselwirkungen und die zeitliche Abhängigkeit dieser Felder. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der Theoretischen Elektrotechnik.

Die Maxwellschen Gleichungen lassen sich mit dem Satz von Stokes und Gauss sowohl in differentieller als auch in integraler Schreibweise formulieren:

Bezeichnung	Satz	Beschreibung
	Gauss	Das ${\vec {D}}$-Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes.
${\mbox{div}}{\vec {D}}=\rho$	$\leftrightarrow$	$\iint _{A}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\subset \!\supset {\vec {D}}\;d{\vec {A}}=\iiint _{V}\rho \;dV$
	Gauss	Das ${\vec {B}}$-Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole.
${\mbox{div}}{\vec {B}}=0$	$\leftrightarrow$	$\iint _{A}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\subset \!\supset {\vec {B}}\;d{\vec {A}}=0$
Induktionsgesetz	Stokes	Jede Änderung des ${\vec {B}}$-Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion abhängig.
${\mbox{rot}}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$	$\leftrightarrow$	$\oint _{c}E\;d{\vec {s}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{A}{\vec {B}}\;d{\vec {A}}$
Verallgemeinertes Durchflutungsgesetz	Stokes	Die Wirbel des Magnetfeldes hängen vom elektrischen Strom und von der zeitlichen Änderung des Verschiebungsstroms ab.
${\mbox{rot}}{\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$	$\leftrightarrow$	$\oint _{c}{\vec {H}}\;d{\vec {s}}=\iint _{A}\left({\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\right)\;d{\vec {A}}$

Erläuterung der Größen

Skalare Felder

Das Symbol ρ steht für die Ladungsdichte ohne Berücksichtigung von Beiträgen, die durch eine elektrische Polarisation eines evtl. vorhandenen Mediums entstehen.

Vektorfelder

Die Stromdichte ${\vec {J}}$ gibt an, wieviel Strom pro Fläche in welche Richtung fließt. Dabei sind Beiträge nicht berücksichtigt, die durch Paramagnetismus und Diamagnetismus in einem evtl. vorhandenen Medium induziert werden.

${\vec {D}}$ ist die elektrische Flussdichte , elektrische Verschiebungsdichte oder elektrische Erregung. Hierbei handelt es sich um die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}$ ohne Berücksichtigung von Beiträgen durch die Polarisation des Mediums. Im Vakuum ist die elektrische Flussdichte bis auf einen Faktor, der nur durch das Einheitensystem bedingt ist, identisch mit der elektrischen Feldstärke.

Die magnetische Feldstärke oder magnetische Erregung ${\vec {H}}$ ist die magnetische Flussdichte oder Induktion ${\vec {B}}$ ohne Berücksichtigung von paramagnetischen und diamagnetischen Beiträgen durch das Medium. Im Vakuum sind die magnetische Flussdichte und die magnetische Feldstärke identisch wiederum bis auf einen Faktor, der nur durch das Einheitensystem bedingt ist.

Die Beziehungen zwischen der elektrische Flussdichte und der elektrische Feldstärke, der magnetische Feldstärke und der magnetische Flussdichte sowie der Stromdichte und der elektrische Feldstärke werden durch die Materialgleichungen beschrieben.

Die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte sind die physikalischen Felder. Bei Anwesenheit eines Mediums sind die elektrische Flussdichte und die magnetische Feldstärke Hilfsgrößen, die die Berechnung der Felder vereinfachen, da der Beitrag des Mediums nicht von vornherein bekannt sein muss.

Sonstiges

Im ladungsfreien Raum mit ρ = 0 und ${\vec {J}}$ = 0 kann man aus diesen Gleichungen eine Wellengleichung ableiten, deren Lösungen sich mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen. Hierbei handelt es sich um die elektromagnetischen Wellen.

${\vec {E}}$ und ${\vec {D}}$ sind bei hinreichend kleinen Feldstärken in guter Näherung proportional zu einander. Die Abweichungen von dieser Proportionalität bei höheren Feldstärken bilden die Grundlage der nichtlinearen Optik.

Die Maxwellgleichungen beschreiben die elektromagnetische Wechselwirkung im Rahmen der klassischen Physik. In der Quantenphysik ist dazu die Quantenelektrodynamik erforderlich.

Siehe auch

• James Clerk Maxwell