Goldbachsche Vermutung

Die goldbachsche Vermutung ist eine der ältesten offenen Fragen der Zahlentheorie und der Mathematik überhaupt (siehe ungelöste Probleme der Mathematik). Sie wurde erstmals in einem Brief von Christian Goldbach an Leonhard Euler 1742 gestellt. Sie lautet:

Kann jede ungerade Zahl größer als 5 als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden?

Diese Vermutung ist heute als ternäre oder schwache Goldbachsche Vermutung bekannt und ist "so gut wie" gelöst: Sie gilt, wenn die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung richtig ist, und auch ohne einen Beweis für selbige ist das Problem "nur" für endlich viele Zahlen unbewiesen (wenn auch für sehr viele).

Eine stärkere Vermutung, aus deren Beweis obige Vermutung unmittelbar folgen würde, ist die Folgende, als binäre oder starke Goldbachsche Vermutung bekannte:

Kann jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden?

Im Allgemeinen ist mit der goldbachschen Vermutung die starke Vermutung gemeint.

Mit diesen Vermutungen haben sich bis in die heutige Zeit viele Zahlentheoretiker befasst. Die binäre wurde im Jahre 1998 mit dem Computer von Jörg Richstein an der Universität Gießen für alle Zahlen bis 4 * 10¹⁴ überprüft.

Die meisten Mathematiker glauben, dass die Vermutung wahr ist, und das hauptsächlich wegen der statistischen Verteilung der Primzahlen: Je größer die gerade Zahl ist, desto "wahrscheinlicher" ist es, dass es zwei Primzahlen gibt, deren Summe die gewünschte Zahl ist. Es ist bekannt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe von höchstens 6 Primzahlen ausgedrückt werden kann, und 1966 bewies der Mathematiker Chen, dass jede hinreichend große gerade Zahl als eine Summe von einer Primzahl und einer Zahl geschrieben werden kann, die höchstens zwei Primfaktoren besitzt.

Nachdem der britische Verlag Faber & Faber im Jahr 2000 ein Preisgeld von 1.000.000 Dollar auf die Lösung dieses Problems ausgelobt hatte, war auch das öffentliche Interesse an dieser Frage gewachsen. Dieses Preisgeld sollte für einen Beweis der Vermutung vor dem April 2002 vergeben werden. Es wurde jedoch bis zu diesem Zeitpunkt kein Beweis gefunden.

Verwandte Themen

Zahlentheorie -- Natürliche Zahlen

Literatur

J. Richstein: "Verifying the Goldbach Conjecture up to 4x10¹⁴", Mathematics of Computation 70 (2001), 1745-1749

A. Doxiadis: "Onkel Petros und die Goldbachsche Vermutung", Lübbe (2001) ([Belletristik])