Ellipse

Dieser Artikel befasst sich mit der Ellipse in der Mathematik, andere Bedeutungen unter Ellipse (Begriffsklärung).

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Ellipse eine spezielle geschlossene Kurve von ovaler Form, die wie die Parabel und die Hyperbel zu den Kegelschnitten gehört.

Definitionen und Begriffe

Eine Ellipse ist definiert als die Menge aller Punkte der Zeichenebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den so genannten Brennpunkten F₁ und F₂, konstant gleich 2a ist. (Dadurch, dass man die gegebene Abstandssumme mit 2a und nicht mit a bezeichnet, vereinfachen sich die Formeln zur Ellipse ein wenig.)

ell=\{X\mid {\overline {XF_{1}}}+{\overline {XF_{2}}}=2a\}

Ellipse mit Beschriftung und Brennlinien

Die Punkte A und B werden Hauptscheitel genannt, ihre Verbindungslinie heißt Hauptachse. Die Größe a aus der Definition der Ellipse entspricht dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem Hauptscheitel. a ist also die Länge der großen Halbachse.

Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln C und D, welche die Nebenachse bestimmen. Der Abstand eines Nebenscheitels vom Mittelpunkt wird mit b bezeichnet (Länge der kleinen Halbachse).

Die Hauptscheitel sind die Punkte der Ellipse mit dem größten Abstand vom Mittelpunkt, die Nebenscheitel diejenigen mit dem kleinsten. Haupt- und Nebenachse sind zueinander orthogonal.

Die Brennpunkte liegen im Abstand e, der linearen Exzentrizität, vom Mittelpunkt auf der Hauptachse. e lässt sich berechnen durch Anwendung des Satzes von Pythagoras auf das Dreieck CMF₁. Aus a² = b² + e² folgt

e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}

.

Neben der linearen Exzentrität e wird oft auch die numerische Exzentrizität $\varepsilon$ verwendet, ein dimensionsloser Wert, der sich wie folgt ergibt:

\varepsilon ={\frac {e}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}

Die numerische Exzentrität $\varepsilon$ ist stets kleiner als 1. Hat sie den Wert 0, so ist die Ellipse ein Kreis. Unterscheidet sich dagegen $\varepsilon$ nur wenig von 1, so handelt es sich um eine langgestreckte, schmale Ellipse.

Die halbe Länge einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) p der Ellipse. p lässt sich berechnen durch:

p={\frac {b^{2}}{a}}

Die Ellipse als Kegelschnitt

Die Ellipse ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.

Eigenschaften

Die Verbindungslinien zwischen den Brennpunkten und einem Punkt der Ellipse heißen Brennlinien oder Brennstrahlen. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund einer bemerkenswerten Eigenschaft: Der Winkel, den die beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse miteinander einschließen, wird durch die Normale (also die Senkrechte zur Tangente) in diesem Punkt halbiert. Normale und Tangente in einem Ellipsenpunkt sind also die beiden Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) der zugehörigen (verlängerten) Brennlinien.

Stellt man daher eine punktförmige Lichtquelle in einen Brennpunkt eines Spiegels von Ellipsenform, so werden die ausgesandten Lichtstrahlen so reflektiert, dass sie sich im anderen Brennpunkt treffen. Archimedes soll, als seine Heimatstadt Syrakus belagert wurde, diese Eigenschaft ausgenützt haben, um eine Flotte römischer Kriegsschiffe in Brand zu setzen. Er ordnete viele Schilde zu einem großen Ellipsenbogen an und entzündete ein Feuer in einem Brennpunkt, sodass die Segel eines feindlichen Schiffes im anderen Brennpunkt in Flammen aufgingen.

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Hälfte einer Ellipse. Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Das gleiche Prinzip wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet.

Zwei Ellipsen mit übereinstimmenden Brennpunkten nennt man konfokal.

Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand $d={\frac {a^{2}}{e}}$ . Für einen beliebigen Punkt X der Ellipse ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Direktrix gleich der numerischen Exzentrität:

\mathrm {{\overline {XF_{1}}}:{\overline {XP_{1}}}={\overline {XF_{2}}}:{\overline {XP_{2}}}=\varepsilon }

Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Direktrix) sowie eine Zahl $\varepsilon$ mit $0\leq \varepsilon <1$ vorgeben und eine Ellipse definieren als Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich $\varepsilon$ ist.

Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (also zu einer beliebigen Ellipsensehne durch den Mittelpunkt der Ellipse) [PQ] die parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte auf einem Ellipsendurchmesser [RS]. Man nennt [RS] den zu [PQ] konjugierten Durchmesser. Der zu [RS] konjugierte Durchmesser stimmt mit dem ursprünglichen Durchmesser [PQ] überein.

Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern

Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammen fällt, nennt man Ellipse in 1. Hauptlage. In der ebenen analytischen Geometrie kann eine Ellipse in erster Hauptlage mit folgender Gleichung dargestellt werden.

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Gabriel Lamé verallgemeinerte die Ellipse (Lamésche Kurve, Superellipse).

Wendet man die Ellipsendefinition im Raum an oder rotiert man eine Ellipse um ihre Hauptachse, entsteht ein Ellipsoid.

Konstruktion

Ellipsen lassen sich (mit Zirkel und Lineal) nur punktweise konstruieren, d.h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise (siehe unten) und eines Kurvenlineals lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. Um aber zum Beispiel eine Gerade exakt mit einer Ellipse schneiden zu können, braucht man besondere Konstruktionstechniken, welche die Eigenschaften der Ellipse ausnützen.

Die Ellipse lässt sich am einfachsten zeichnen, wenn die beiden Brennpunkte und die Länge der Hauptachse angegeben ist. Dann kann man einfach einzelne Punkte mittels der Ellipsendefinition konstruieren und diese „verbinden“.

Um die Konstruktion zu vereinfachen, kann man zuerst die Scheitelkrümmungskreise bestimmen. Dies sind Kreise, die die Ellipse in der Nähe der Scheitel gut annähern, da sie dieselbe Krümmung besitzen wie die Ellipse in den Scheiteln.

Eine Möglichkeit, die Ellipse „genau“ zu zeichnen, ist die so genannte Gärtnerkonstruktion: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen, befestigt man eine Schnur mit der Länge 2a an zwei Pflöcken, die in den Brennpunkten stehen. Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Diese Konstruktion ist natürlich in der klassischen Geometrie nicht erlaubt.

Ellipsenzirkel nach Frans van Schoten aus dem 17. Jahrhundert

Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt E zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt.

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach De La Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte angegeben sein müssen. Sind zwei konjugierte Durchmesser angegeben, kann man mit Hilfe der Rytz'schen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und -achsen) bestimmen.

Beispiele

Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse. Präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.

In der Astronomie kommen Ellipsen häufig als Bahnen von Himmelskörpern vor. Nach dem ersten keplerschen Gesetz bewegt sich jeder Planet auf einer Ellipse um die Sonne, wobei diese in einem der beiden Brennpunkte steht. Entsprechendes gilt für die Bahnen von wiederkehrenden (periodischen) Kometen, Planetenmonden oder Doppelsternen. Allgemein ergeben sich bei jedem Zweikörperproblem der Gravitationskraft zueinander ähnliche Ellipsenbahnen, wenn die Energie nicht ausreicht, die Entfernung der beteiligten Himmelskörper unendlich groß werden zu lassen.

Für jeden zwei- oder dreidimensionalen harmonischen Oszillator erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn. So schwingt etwa der Pendelkörper eines Fadenpendels näherungsweise auf einer elliptischen Bahn, falls die Bewegung nicht auf eine Ebene beschränkt ist.