Nephroide

Die Nephroide ist eine algebraische Kurve 6. Grades. Sie wird beschrieben durch die Gleichung

$\left(x^{2}+y^{2}-{\tfrac {1}{4}}\right)^{3}-\left({\tfrac {3}{4}}\right)^{3}\cdot y^{2}=0$

Die Nephroide entsteht durch Abrollen eines Kreises mit dem Radius 0,5 auf der Außenseite eines Kreises mit dem Radius 1. Damit gehört die Nephroide in die Klasse der Epizykloiden und hat die Parameterdarstellung

$x={\tfrac {3}{4}}\cdot \cos(\phi )-{\tfrac {1}{4}}\cdot \cos(3\phi )={\tfrac {3}{2}}\cdot \cos(\phi )-\cos ^{3}(\phi )$

$y={\tfrac {3}{4}}\cdot \sin(\phi )-{\tfrac {1}{4}}\cdot \sin(3\phi )=\sin ^{3}(\phi )$

Die Form der Kurve ähnelt einer Niere (gr. nephros), mit zwei einander gegenüberliegenden Einschnürungen. Damit ist die Nephroide an ihrer breitesten Stelle doppelt so breit wie an ihrer schmalsten. Der Flächeninhalt der Nephroide beträgt dreiviertel des Flächeninhaltes ihres Umkreises und das Dreifache des Flächeninhaltes ihres Inkreises. Der Umfang der Nephroide beträgt das Sechsfache des Radius ihres Umkreises und das Zwölffache des Radius ihres Inkreises.

Nephroide im täglichen Leben

Fällt Licht einer unendlich weit entfernten Lichtquelle seitlich auf eine konkave, kreisförmige reflektierende Oberfläche, so bildet die Einhüllende der Lichtstrahlen einen Teil einer Nephroide. Manchmal wird sie daher auch „Kaffeetassenkaustik“ (Kaustik = Brennlinie) genannt. Man kann sie auch auf der Straße beobachten, wenn die blanken Felgen eines Fahrrades das Licht auf den Boden reflektieren: Da das Sonnenlicht den Zylindermantel der Fahrradfelge parallel trifft, bildet sich eine Brennfläche, deren Profil die Form einer halben Nephroide hat und die, wenn man sich leicht in die Kurve legt, mit dem ebenen Untergrund einen Teil einer Nephroide als Schnittfigur bildet.

Weblinks

Commons: Nephroid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien