Hyperreelle Zahl

Hyperreelle Zahlen gehören zur Nichtstandard-Analysis . Sie erweitern

die reellen Zahlen um ihre infinitesimal benachbarten Zahlen

sowie um unendlich große (infinite) Zahlen.

Eine hyperreelle Zahl wird als Folge aufgefasst, ist aber von deren

Grenzwert zu unterscheiden. Beispiel:

Die Folge

(a) = ( 1; 0,1; 0,01; 0,001; ...)

hat den Grenzwert 0, wird aber als hyperreelle Zahl als von 0

verschieden betrachtet. Jede reelle Zahl ist auch hyperreell.

Reelle Zahlen sind hyperreelle Zahlen, die durch eine konstante

Folge dargestellt werden können. Beipiele:

1 = ( 1; 1; 1; 1; ... ),

0 = ( 0; 0; 0; 0; ... ).

Vergleich und Rechenoperationen erfolgen gliedweise, so die

Addition:

1+3 = ( 1; 1; 1; 1; ...) + ( 3; 3; 3; 3; ...)

= ( 1+3; 1+3; 1+3; 1+3; ... )

= ( 4; 4; 4; 4; ... ) = 4 .

Daher ist

a + a = ( 1; 0,1; 0,01; 0,001; ...) + ( 1; 0,1; 0,01; 0,001; ...)

= ( 2; 0,2; 0,02; 0,002; ...) = 2 a .

Ebenso ist

(a) > 0 ,

denn ( 1; 0,1; 0,01; 0,001; ...) ist gliedweise (es genügen hinreichend viele

Glieder) größer als ( 0; 0; 0; 0; ...) .

Obiges (a) ist eine "infinitesimale Zahl", sie ist größer als 0 und kleiner

als jede reelle Zahl größer 0.

Entsprechend ist (A) = ( 1; 10; 100; 1000; ...) eine "infinite Zahl",

sie ist größer als jede reelle Zahl.

Die Zahl (b) = ( 0; 0,9; 0,99; 0,999; ...) ist gliedweise kleiner

als ( 1; 1; 1; 1; ...), also ist (b) < 1. Sie ist aber größer als jede

reelle Zahl kleiner 1. Sie ist daher zur 1 "infinitesimal benachbart".

Ihre Differenz zu 1 ist

1 - (b) = ( 1; 0,1; 0,01; 0,001; ...) = (a),

also infinitesimal.

Der "Realteil einer hyperreellen Zahl" ist ihr Folgengrenzwert, zum

Beispiel:

Realteil(a) = 0

Realteil(b) = 1

Die hyperreellen Zahlen bilden wie die reellen mit der Addition und

Multiplikation einen Körper.

Die infinitesimalen Zahlen entsprechen den von Newton bei der

"Erfindung" der Differenzialrechnung eingeführten "Fluxionen". Durch

die hyperreellen Zahlen ist eine Formulierung der Differenzial- und

Integralrechnung ohne den Grenzwertbegriff möglich.