Nyquist-Shannon-Abtasttheorem

Das Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem, auch als WKS-Sampling-Theorem, von Harry Nyquist (1928) und Claude Shannon (1948) [1] in der Signalverarbeitung etabliert, aber vorher schon als Theorie der Kardinalfunktionen von Edmund Taylor Whittaker (1915) und seinem Sohn John Macnaughten Whittaker (1929) [2] und Wladimir Alexandrowitsch Kotelnikow (1933) [3] behandelt (und wahrscheinlich schon vorher bekannt), ist ein grundlegendes Theorem der Nachrichtentechnik und Informationstheorie. Es besagt, dass ein kontinuierliches Signal (mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz und einer Maximalfrequenz f_max) mit einer Frequenz größer als 2 · f_max bzw. (allgemeiner und auch für nicht Basisband-Signale gültig) größer als zweimal der Bandbreite des Signals abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust rekonstruieren kann:

$f_{\rm {abtast}}>2\,f_{\rm {max}}$

und allgemein:

$f_{\rm {abtast}}>2\,f_{\rm {Signalbandbreite}}$

Wenn die untere Grenzfrequenz größer als 0 ist, gilt das Abtasttheorem in einer leicht abgewandelten Form (siehe Abschnitt Unterabtastung).

In der Praxis bedeutet das Abtasttheorem, dass man vor der Abtastung die maximale Frequenz kennen oder herausfinden muss (zum Beispiel mit Hilfe der Fourier-Analyse eines hochfrequent abgetasteten Signals) und dass dann das Signal (z. B. zum Zwecke der Digitalisierung) mit mehr als der doppelten Frequenz abgetastet werden muss, wenn man das Signal wieder vollständig rekonstruieren will.

Das Nyquist-Shannon Abtasttheorem findet bei jeder Digitalisierung Anwendung. ${\frac {1}{2}}f_{\rm {abtast}}$ nennt man die Nyquist-Frequenz.

Analog gilt das Abtasttheorem auch bei Bildern, wobei die Abtastfrequenz dann in Linien (bzw. Pixel) pro Längeneinheit bestimmt werden kann.

Erklärung der Begriffe

• Ein bandbeschränktes Signal x mit einer maximalen Frequenz F:=f_max wird durch eine solche Funktion x(t) auf der reellen Achse repräsentiert, die sich mittels einer „guten“ komplexwertigen Funktion $g:[-F,F]\to \mathbb {C}$ als Frequenzdichte darstellen läßt:

$x(t)=\int _{-F}^{F}g(f)e^{i\,2\pi f\,t}\,df$.

„Gute“ Funktionen sind beispielsweise stückweise stetige Funktionen. Die Funktion g steht in Beziehung zur gewöhnlichen Fourier-Transformierten (bzgl. der Kreisfrequenz) von x

$X(\omega )={\mathcal {F}}[x](\omega )={\hat {x}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}g\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)$ für $\omega \in [-2\pi F,2\pi F]$, sonst Null.

Ist x reellwertig, so gilt $g(-f)={\overline {g(f)}}$. Wird g in Polarkoordinaten dargestellt, $g(f)=|g(f)|e^{i\,\phi (f)}$, so erhalten wir x mittels eines Integrals mit reellem Integranden,

$x(t)=2\int _{0}^{F}|g(f)|\,\cos(2\pi f\,t+\phi (f))\,df$.

• Abtasten mit der doppelten Frequenz bedeutet hier, dass Funktionswerte in gleichmäßigen Abständen genommen werden, wobei ein einfacher Abstand T=1/(2F) beträgt, d.h. aus x wird die Zahlenfolge x[k]:=x(kT) konstruiert.

• Rekonstruieren ohne Informationsverlust meint, dass die Lagrange-Interpolation, ausgeweitetauf den Fall mit unendlich vielen, uniform angeordneten Stützstellen, wieder das Ausgangssignal ergibt

$x(t)=y(t):=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x_{k}\prod _{,j\in \mathbb {Z} ,\;j\neq k}{\frac {t-jT}{kT-jT}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(kT)\mathrm {sinc} (x/T-k)$.

Die Funktion sinc(x)=sin(πx)/(πx), der Sinus Cardinalis, ist dabei der ideale Interpolationskern für ganzzahlige Stützstellen, es ist sinc(0)=1, sinc(n)=0 für jedes weiter ganzzahlige n. Die interpolierende Reihe wird auch als Kardinalreihe bezeichnet, dabei bezieht sich die Vorsilbe kardinal auf die ganzen Zahlen als Kardinalzahlen. Die sinc-Funktion hat die Box-Funktion rect(x/π) als Fourier-Transformierte, diese hat den Wert 1 auf dem Intervall [-π; π], sonst den Wert Null.

Bemerkung: Kein endliches Signal, d.h. keine Funktion mit einem endlichen Träger erfüllt die Voraussetzungen an eine bandbeschränkte Funktion. Ebensowenig fallen periodische Signale, wie z.B. reine Sinusschwingungen, in den Bereich dieses Theorems; genausowenig Signale mit Knicken oder Sprüngen. Es ist somit als ideale Aussage in einer idealen Situation zu betrachten. Dem Ideal am nächsten kommen modulierte Schwingungen, wie Musik- oder Sprachaufzeichnungen, welche zum Speichern auf CD gesampelt und digitalisiert werden sollen. Für andere praktische Zwecke, z.B. digitale Bildbearbeitung, müssen Varianten des Abtasttheorems mit nicht ganz so starken Anforderungen gefunden werden, für welche dieses Theorem dann Richtschnur ist. (Siehe [Unser: Sampling...])

Tiefpass zur Verhinderung von Signalstörungen

Eventuell enthaltene Signalanteile mit einer Frequenz größer der halben Abtastfrequenz müssen vor der Abtastung mit einem (analogen) Tiefpass-Filter aus dem Signal entfernt werden, da es sonst zu Artefakten kommt. Die Entfernung dieser Anteile führt zu einer Veränderung des Signals und sollte nur angewendet werden, wenn diese Änderung unwesentlich ist oder eine Erhöhung der Abtastfrequenz nicht in Frage kommt. Die Artefakte sind Alias-Signale (Störsignale, Pseudosignale), die sich als störende Frequenzanteile bemerkbar machen. Wird zum Beispiel ein Sinussignal, das eine Frequenz von 1600 Hz hat, mit einer Abtastfrequenz von 2000 Hz digitalisiert, erhält man ein 400 Hz Alias-Signal (2000-1600 Hz). Bei einer Abtastfrequenz über 3200 Hz entsteht dagegen kein Alias-Signal. Eine Abtastfrequenz von zum Beispiel 3300 Hz führt zu einem Differenzsignal von 1700 Hz (3300-1600 Hz). Da dieses oberhalb des zu übertragenen Frequenzbandes liegt, kann man es mit einem Tiefpass ohne Informationsverlust entfernen.

Mathematischer Hintergrund

Zu mathematischen Grundlagen siehe: Lebesgue-Integral, Lebesgue-Raum, Fourier-Transformation

Durch Skalieren der Zeitabhängigkeit kann jedes bandbeschränkte Signal x(t) auf den Frequenzbereich [-½; ½], bzw. [-π; π] als Kreisfrequenzbereich, reduziert werden. Die Frequenzdichte g(f) muss eine Funktion beschränkter Variation sein, wie es z.B. stückweise stetige Funktionen sind. Dann ist x(t) eine stetige, beliebig oft differenzierbare, absolut- und quadratintegrable Funktion, $x\in L^{2}(\mathbb {R} )\cap L^{1}(\mathbb {R} )\cap C^{\infty }(\mathbb {R} )$, und hat eine Fourier-Transformierte $X={\hat {x}}\in L^{2}(\mathbb {R} )$ mit Träger ${\mbox{supp}}\,{\hat {x}}\subset [-\pi ,\pi ]$.

Der Funktionswert x(t) an jedem beliebigen Punkt t ist unter diesen Voraussetzungen schon allein durch die Funktionswerte x(n) an allen ganzzahligen Punkten t=n festgelegt, es gilt:

$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\cdot {\frac {\sin(\pi (t-n))}{\pi (t-n)}}={\frac {\sin(\pi t)}{\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x(n)}{t-n}}$.

Diese Gleichung enthält zwei nichttriviale Aussagen: 1) Die unendliche Reihe konvergiert, und 2) der Grenzwert ist immer identisch mit dem Funktionswert x(t).

Die Identität einer bandbeschränkten Funktion mit ihrer oben angegebenen Kardinal-Reihe (nach Whittaker) ergibt sich aus der Poissonschen Summenformel, es gilt ${\hat {x}}(\omega )=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {x}}(2\pi k+\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }x(n)e^{-i\omega n}$, woraus sich nach der Formel der Inversen Fourier-Transformation $x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{\hat {x}}(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\omega (t-n)}\,d\omega =\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n){\frac {\sin(\pi (t-n))}{\pi (x-n)}}$ Durch geschickte Anwendung der allgemeinen Abtastformel kann man auch verallgemeinerte Kardinalreihenentwicklungen erhalten, z.B. $x(t)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left(x(2n)+{\dot {x}}(2n)(t-2n)\right)\sin c\left(\pi (t/2-n)\right)^{2}$, d.h. die Abtastrate ist halbiert, dafür werden an jedem Abtastpunkt zwei Werte genommen, der Funktionswert und die erste Ableitung. Es wird gewissermaßen lokal linear entwickelt und die Entwicklungen mittels einer Zerlegung der Eins „zusammengeklebt“. Formeln mit Ableitungen höherer Ordnung erlauben keine so einfache Interpretation. (Siehe [Higgins: Five ...]) Ist f bandbeschränkt auf Kreisfrequenzen aus dem Intervall [-Nπ; Nπ] und sind a1,...,aN paarweise verschiedene reelle Zahlen, so gilt $f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\prod _{i=1}^{N}\sin \!c(x-n-a_{i})\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{N}f(n+a_{j})\prod _{k\neq j,k=1}^{N}{\frac {x-n-a_{k}}{(a_{j}-a_{k})\sin \!c(a_{j}-a_{k})}}\right)$ Der erste Faktor im Summanden ist die Kernfunktion einer Zerlegung der Eins, der zweite Faktor ein Interpolationspolynom, welches der Lagrange-Interpolation ähnlich sieht. Läßt man die ak simultan nach 0 laufen und ersetzt f(n+ak) durch das Taylor-Polynom vom Grad N-1 oder größer, so ergeben sich beliebig komplexe differentielle Kardinalreihen.

Abtasttheorem bei Bildern

Alias-Signale treten auch beim Scannen von Vorlagen mit wechselnden Ortsfrequenzen auf, man spricht dann von einem Moiré. (z.B. Kleidungsstücke wie Wollpullis oder Anzüge mit dünnen Streifen, auch Ziegeldächer etc.) Oft sind Moirés auch im Fernsehen zu sehen, wenn Moderatoren Nadelstreifenanzüge tragen.

Im hier vorliegenden Fall ist die Ursache eine Überlagerung der Spektren der Abtast-Funktion, deren Ausgangssignale mit f_abtast periodisch sind.

Modifizierte Formel für praktische Anwendung

In der Praxis gibt es (prinzipiell aus Gründen der Kausalität) keinen idealen Tiefpass. Er hat immer einen gewissen Übergangsbereich zwischen praktisch keiner Dämpfung im Durchlassbereich und praktisch vollständiger Dämpfung im Sperrbereich. Daher verwendet man in der Praxis eine modifizierte Formel:

Beispiel:

$f_{\rm {abtast}}\approx 2,\!2\cdot f_{\rm {max}}$

Bei einer CD werden Frequenzen bis 20 kHz übertragen, die Abtastfrequenz beträgt 44,1 kHz.

Der verwendete Faktor ist abhängig vom verwendeten Tiefpassfilter und von der benötigten Dämpfung der Alias-Signale. Andere gebräuchliche Faktoren sind 2,4 (DAT, DVD) und 2,56 (FFT-Analysatoren)

Überabtastung (Oversampling)

Wenn man eine höhere Abtastfrequenz wählt, erhält man keine zusätzlichen Informationen. Der Aufwand für Verarbeitung, Speicherung und Übertragung steigt jedoch. Trotzdem wird Oversampling häufig angewendet.

Liegt nämlich die Nutzbandbreite B sehr nahe bei der halben Abtastfrequenz, so werden sehr hohe Anforderungen an die Flankensteilheit des Tiefpassfilters gestellt. Diese analogen Filter können häufig nur mit großem Aufwand abgeglichen werden.

Oversampling erlaubt es, die Anforderungen an das analoge Tiefpassfilter drastisch zu reduzieren, indem die steilflankige Bandbegrenzung auf ein präzises Digitalfilter hoher Ordnung verlagert wird. (In der Praxis wird häufig ein Oversampling-Faktor M = 2 oder M = 4 gewählt).

Somit braucht man weniger steile analoge Filter vor dem Abtasten. Nach der Abtastung wird dann das digitale Filter angewendet und gleichzeitig die Abtastfrequenz reduziert. Das digitale Filter wird auch als Dezimationsfilter bezeichnet.

Mathematisch ausgedrückt hat ein ideales Tiefpassfilter eine Rechteckfunktion als Frequenzantwort (Übertragungsfunktion oder Frequenzgang), welche nur die Werte 0 und 1 annimmt und den Bereich [-B,B] der Nutzbandbreite markiert.

     +---+ 
     |   |
 ----+   +----
    -B   B

Schneidet man mit einer solchen Filterfunktion im Frequenzraum ab, so wird das gefilterte Signal perfekt aus den Abtastpunkten rekonstruiert. Aus prinzipiellen Gründen (Kausalität und Unstetigkeit) ist ein solches ideales Tiefpassfilter physikalisch nicht zu realisieren.

Deswegen verwendet man ein analoges Filter, das eine stetige, trapezähnliche Funktion als Frequenzantwort bzw. Frequenzgang aufweist,

       +---+
      /     \
 ____/       \____
  -MB -B   B  MB

deren Flanken mit endlicher Steigung zu- bzw. abnehmen. Auf dem Intervall der Nutzbandbreite [-B,B] nimmt diese den Wert 1 an, außerhalb des Intervalls [-MB,MB] ist die Fequenzantwort 0. Ein Filter, das diese Anforderungen erfüllt, kann physikalisch realisiert werden. Nach dem Abtasten erfolgt die digitale Glättung auf die Nutzbandbreite und das Heruntertakten. Die Flankensteilheit hat offensichtlich einen Einfluss auf die Güte des rekonstruierten Signals.

Unterabtastung (Sub-Nyquist-Sampling)

Das Konzept f_abtast > 2 · f_max ist eine vereinfachte Darstellung, die allerdings sehr gebräuchlich und nützlich ist. Genau genommen muss anstelle von f_max die Bandbreite stehen, welche definiert ist durch den Bereich zwischen niedrigster und höchster im Signal vorkommenden Frequenz. Nur in Basisbandsignalen ist die Bandbreite mit f_max identisch, Basisbandsignale sind Signale mit niederfrequenten Anteilen in der Nähe von 0 Hz.

Diese Erkenntnis führte zu einem Konzept namens Unterabtastung, welches z. B. in digitaler Radiotechnik Verwendung findet. Angenommen, man möchte alle Radiosender empfangen, die zwischen 88 und 108 MHz senden. Interpretiert man das Abtasttheorem wie bisher beschrieben, so müsste die Abtastfrequenz über 216 MHz liegen. Tatsächlich wird aber durch die Technik der Unterabtastung nur eine Abtastfrequenz von mehr als 40 MHz benötigt. Voraussetzung dafür ist, dass vor der Abtastung aus dem Signal mittels Bandpassfilter alle Frequenzen außerhalb des Frequenzbereichs von 88–108 MHz entfernt werden. Die Abtastung erfolgt beispielsweise mit 44 MHz, ohne dass der relevante Bereich von einem analogen Mischer umgesetzt würde – das Ergebnis ist quasi ein Alias-Signal und entspricht dem Signal, das bei Abtastung eines per Mischer auf 0–20 MHz umgesetzten Bereichs entstünde.

Siehe auch

Informationstheorie, Claude Shannon

Literatur

• [1] Claude Elwood Shannon: Communication in the Presence of Noise
• [2] J. M. Whittaker: The Fourier theory of the cardinal functions, Proc. Edinburgh Math. Soc. 1(1929)
• [3] V. A. Kotelnikow: On the transmission capacity of "ether" and wire in electrocommunications, Izd. Red. Upr. Svyazzi RKKA (1933)
• Harry Nyquist: Certain topics in telegraph transmission theory,Trans. Amer. Inst. Elect. Eng. 47(1928)
• J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series, Bulletin of the AMS 12(1985)
• Michael Unser: Sampling-50 Years after Shannon
• Artikel "Signalabtastung" in Funkamateur 5/2004, S. 457