Dreiecksungleichung

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets größer oder gleich der Länge der dritten Seite c. Das heißt formal:

$c\leq a+b$

Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets kleiner oder gleich dem Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: "Der direkte Weg ist immer der Kürzeste."

Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn a, b und c in die gleiche Richtung weisen.

Da aus Symmetriegründen auch $a\leq c+b$ gilt, folgt $a-b\leq c$ , analog erhält man $b-a\leq c$ , insgesamt also

\left|a-b\right|\leq c\leq a+b

.

Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom der abstrakten Abstandsfunktion in metrischen Räumen verwendet.

Formen der Dreiecksungleichung (exaktere Formulierung)

Dreiecksungleichung für reelle Zahlen

Für reelle Zahlen gilt: ${\Big |}|a|-|b|{\Big |}\leq \left|a+b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|$ .

Beweis

Weil alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung:

a^{2}-2\left|ab\right|+b^{2}\leq a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+2\left|ab\right|+b^{2}

.

Das ist äquivalent zur Ungleichung

-2\left|ab\right|\leq 2ab\leq 2\left|ab\right|

,

welche gilt, weil $-|x|\leq x\leq |x|$ für alle reellen $x$ .

Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen gilt:

{\Big |}\left|Z_{1}\right|-\left|Z_{2}\right|{\Big |}\leq \left|Z_{1}+Z_{2}\right|\leq \left|Z_{1}\right|+\left|Z_{2}\right|

.

Beweis

Da alle Seiten positiv sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält

Z_{1}{\bar {Z_{1}}}-2\left|Z_{1}Z_{2}\right|+Z_{2}{\bar {Z_{2}}}\leq Z_{1}{\bar {Z_{1}}}+Z_{1}{\bar {Z_{2}}}+{\bar {Z_{1}}}Z_{2}+Z_{2}{\bar {Z_{2}}}\leq Z_{1}{\bar {Z_{1}}}+2\left|Z_{1}Z_{2}\right|+Z_{2}{\bar {Z_{2}}}

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Setzt man $Z:=Z_{1}{\bar {Z_{2}}}$ . so bleibt also zu zeigen

-2\left|Z\right|\leq Z+{\bar {Z}}\leq 2\left|Z\right|

.

Mit $Z=u+iv$ erhält man

-2{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq (u+iv)+(u-iv)=2u\leq 2{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}

bzw.

|u|\leq {\sqrt {u^{2}+v^{2}}}

,

was wegen $0\leq v^{2}$ immer erfüllt ist.

Dreiecksungleichung für Vektoren

Für Vektoren gilt:

{\Big |}\left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|\,\,{\Big |}\leq \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|

.

Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren

\left|{\vec {a}}\right|^{2}-2\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}

und Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

\left|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|

.

Dreiecksungleichung für sphärische Dreiecke

Im sphärischen Dreieck gilt für die drei Seitenlängen:

$\left|a-b\right|\leq c\leq a+b$ . Sphärisches Dreieck

Dreiecksungleichung für L^p-Räume

Die Dreiecksungleichung in L^p-Räumen wird Minkowski-Ungleichung genannt und mittels der Hölderschen Ungleichung bewiesen.

Dreiecksungleichung für metrische Räume

In einem metrischen Raum $\left(X,d\right)$ wird als Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ für alle $x,y,z\in X$ erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per definitionem die Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum auch $\left|d(x,z)-d(z,y)\right|\leq d(x,y)$ für alle $x,y,z\in X$ gilt.

Siehe auch