Hexadezimalsystem

Im Hexadezimalsystem (griech. hexa = sechs, lat. decem = zehn, auch Sedezimalsystem von lat. sedecim = sechzehn) werden Zahlen in einem Stellenwertsystem mit der Basis 16 (also einem 16er-System) dargestellt. Es erlaubt eine wesentlich knappere und somit übersichtlichere Notierung als das früher in der Datenverarbeitung überwiegend benutzte Oktalsystem.

Wir sind gewöhnt, im Dezimalsystem ("10er-System") zu rechnen. Das bedeutet, unser "arabisches" Zahlensystem verwendet 10 Symbole zur Notation der Ziffern (0 bis 9). Das Hexadezimalsystem enthält dagegen 16 Ziffern. Zur Darstellung der sechs zusätzlichen Ziffern werden die Buchstaben A bis F oder a bis f als Zahlzeichen verwendet. So lassen sich mit einer einstelligen hexadezimalen Zahl die Dezimalzahlenwerte von 0 bis 15 darstellen:

hexadezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
dual	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
dezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
oktal	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20

Darstellung von Hexadezimalzahlen

Um eine hexadezimale Zahl von einer normalen Dezimalzahl unterscheiden zu können existieren mehrere Schreibweisen. Üblicherweise wird die hexadezimale Zahl mit einem Präfix oder Suffix versehen.

Verbreitete Schreibweisen sind zum Beispiel: 72₁₆, 72_H, 0x72, "72, 72h und $72.

Dezimale Zahlen werden, wenn eine Unterscheidung notwendig ist, zum Beispiel 114₁₀ oder 114_D geschrieben.

Zählen im Hexadezimalsystem

Gezählt wird wie folgt:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E	1F
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	2A	2B	2C	2D	2E	2F
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	FA	FB	FC	FD	FE	FF
100	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Anwendung

Das Hexadezimalsystem eignet sich sehr gut, um Folgen von Bits (verwendet in der Digitaltechnik) darzustellen. Vier Stellen einer Bitfolge (ein Nibble, auch Tetrade) werden wie eine Dualzahl interpretiert und entsprechen so einer Ziffer des Hexadezimalsystems, da 16 die vierte Potenz von 2 ist. Die Hexadezimaldarstellung der Bitfolgen ist leichter zu lesen und schneller zu schreiben:

Hexadezimal     Dual
1F              1.1111
37C5            11.0111.1100.0101
AFFE0815        1010.1111.1111.1110.0000.1000.0001.0101

Computersoftware stellt daher Maschinensprache oft auf diese Weise dar.

Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen

Eine Möglichkeit, eine Zahl des Dezimalsystems in eine Zahl des Hexadezimalsystems umzurechnen, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 16 geteilt wird.

Im Beispiel der 1278₁₀ sähe das so aus:

1278 : 16 = 79 Rest 14 (= E)
  79 : 16 =  4 Rest 15 (= F)
   4 : 16 =  0 Rest  4

Von unten nach oben gelesen ergibt sich die Hexadezimalzahl 4FE.

Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen

Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der Zahl vor dem Komma eine Null zugeordnet wird. Dazu muss man allerdings die Ziffern A, B, C, D, E, F in die entsprechenden Dezimalzahlen 10, 11, 12, 13, 14, 15 umwandeln.

Beispiel für 4FE₁₆:

$4\cdot 16^{2}+15\cdot 16^{1}+14\cdot 16^{0}=1278_{(10)}$

Mathematische Darstellung des Hexadezimalsystems

$h_{m}h_{m-1}\cdots h_{0},h_{-1}h_{-2}\cdots h_{-n}=\sum _{i=-n}^{m}h_{i}\cdot 16^{i}\qquad m,n\in \mathbb {N} \quad h_{i}\in \{0;1;\cdots ;9;A;B;\cdots ;F\}$

Siehe auch

Weblinks

Umrechnung von Zahlensystemen (Oktal- / Dezimal- / Binär- / Hexadezimalsystem)