Fréchet-Raum
Ein Fréchet-Raum (nach Maurice René Fréchet) ist ein topologischer Vektorraum (Funktionalanalysis) mit speziellen Eigenschaften. Er kann als eine Verallgemeinerung eines Banachraumes angesehen werden. Die Hauptvertreter von Fréchet-Raeumen sind Vektorräume von glatten Funktionen. Um mit Mengen von glatten Funktionen arbeiten zu können ist eine Topologisierung nötig. Natürlich kann man den Raum der glatten Funktionen mit einer beliebigen anderen Vektorraumtopologie ausstatten, aber dann wird er im Allgemeinen nicht vollständig. Und gerade erst die Vollständigkeit macht eine Topologischen Vektorraum handhabbar. Es kann sogar gezeigt werden, dass der Raum der glatten Funktionen keine Banachraumtopolgie besitzt. Deshalb ist es notwendig den Begriff des Fréchet-Raumes einzuführen.
Definition
Ein Fréchet-Raum ist ein topologischer Vektorraum der lokal konvex und vollständig ist und eine abzählbare Nullumgebungsbasis besitzt.
Eine äquivalente Eigenschaft zum Besitz einer abzählbaren Nullumgebungsbasis ist die Metrisierbarkeit. Es sei bemerkt, dass ein Fréchet-Raum keine kanonische Metrik besitzt. Die Metrik ist eine zusätzliche Struktur, vergleichbar der Ringstruktur auf einer abelschen Gruppe
Beschreibung der Topologie durch Halbnormen
Wie bei jedem lokalkonvexen topologischen Vektorraum kann auch die Topologie eines Fréchet-Raumes durch eine Familie von Halbnormen beschrieben werden. Die Existenz einer abzählbaren Nullumgebungsbasis garantiert, dass nur abzählbar viele Halbnormen zur Erzeugung der Toplogie notwendig sind.
Bespiele
- Die Erzbeispiele von nicht normierbaren Fréchet-Räumen sind die Räume von glatten Funktionen auf einer kompakten Mannigfaltigkeit oder auf einer kompakten Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektoraumes. Ihre lokalkonvexe-Topologie ist in kanonischer Weise eine Fréchet-Topologie.
- Die wichtigsten nicht normierbaren Fréchet-Räume, die in der Praxis relevant sind, sind nukleare Räume. Dazu gehören die die meisten Räume, die in der Theorie der Distributionen auftreten, die Räume holomorpher Funktionen auf einer offenen Menge oder Räume von Zahlenfolgen wie der Raum der schnell fallenden Zahlenfolgen. Sie haben z.B. die Montel-Eigenschaft: d.h. jede beschränkte Menge ist relativ kompakt.
Eigenschaften
In vollständigen metrischen Vektorräumen wie etwa Banachräumen oder Fréchet-Räumen gilt der Satz über die offene Abbildung.