Primzahlsatz

Der Primzahlsatz erlaubt eine endliche Abschätzung der Verteilung der Primzahlen. Er wurde bereits von Gauß um 1800 vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Hadamard und de la Vallée Poussin bewiesen.

Im weiteren sei π(x) die Primzahlfunktion, die für beliebige reelle Zahlen x definiert ist als die Anzahl der Primzahlen p ≤ x. Formaler kann man schreiben:

$\pi (x)=\#\{\,p\leq x\,|\,p\in \mathbb {P} \}$

Für natürliche Zahlen $n\geq 4$ gilt nach einem Ergebnis von Godfrey Harold Hardy auch die konkrete Formel

$\pi (n)=-1+\sum _{j=3}^{n}\left[(j-2)!-j\lfloor {\frac {(j-2)!}{j}}\rfloor \right].$

In der ersten Gleichung bezeichnet das Symbol $\mathbb {P}$ die Menge der Primzahlen. Die Schreibweise #{...} bedeutet "die Mächtigkeit der Menge {...}".
_{$x\mapsto \lfloor x\rfloor$} ist die Gaußklammerfunktion.

Bessere Approximationen als x /ln(x) liefert der so genannte Integrallogarithmus, der definiert wird als

$\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}\,.$

Auch für den Integrallogarithmus gilt Li(x) ~ π(x). Die Integraldarstellung für Li(x) wird gewählt, weil die Stammfunktion von 1/ln(x) nicht elementar ist.

Weiterhin sei definiert: Zwei Funktionen f(x) und g(x), mit x reelle Zahl, heißen asymptotisch äquivalent, in Formelschreibweise f(x) ~ g(x), wenn der Quotient f(x) / g(x) für x gegen unendlich gegen 1 konvergiert.

Dann gilt folgender

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Primzahlsatz: Die Funktionen π(x) und x / ln(x) sind asymptotisch äquivalent bzw. $\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1$.

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Das bedeutet, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, anhand der Funktion ${\frac {x}{\ln(x)}}$ abgeschätzt werden kann. Genauer gesagt: Man weiß, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, größer ist als der Wert ${\frac {x}{\ln(x)}}$ , wobei die verhältnismäßige Differenz mit zunehmendem x geringer wird. Zum Beispiel folgt daraus, dass es mehr als ${\frac {100000}{\ln(100000)}}=8685,89$, also mehr als 8685 Primzahlen unter den ersten 100000 Zahlen gibt.

Tschebyschow präzisierte 1851 den Primzahlsatz durch folgende Ungleichung:

$0.92929\leq {\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}\leq 1.1056$ für alle hinreichend großen $x$.

Adrien-Marie Legendre vermutete 1797/98, π(x) sei ungefähr gleich x / (ln x - 1,08366).

Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte des Primzahlsatzes sowie die Werte, die sich aus Legendres Formel ergeben.

x	π(x)	π(x) / x	x / ln(x)	π(x)·ln(x) / x	Legendre
10	4	0,4000	4,34	0,9210	8
100	25	0,2500	21,71	1,1513	28
1 000	168	0,1680	144,76	1,1605	172
10 000	1 229	0,1225	1 085,74	1,1320	1 231
100 000	9 592	0,0959	8 685,89	1,1043	9 588
1 000 000	78 498	0,0785	72 382,41	1,0845	78 543
10 000 000	664 579	0,0665	620 420,69	1,0712	665 140
100 000 000	5 761 455	0,0576	5 428 681,02	1,0613	5 768 004
1 000 000 000	50 847 534	0,0508	48 254 942,43	1,0537	50 917 519

Die Größe π(x) / x heißt Primzahldichte.

Weblinks

• http://www.utm.edu/research/primes/howmany.shtml