Bandpass

Als Bandpass (auch Bandbreitenfilter) wird ein Filter bezeichnet, das in einem Signalweg nur die Frequenzen eines bestimmten Bereiches durchlässt und die Frequenzbereiche unterhalb bzw. oberhalb des Durchlassbereiches sperrt bzw. deutlich abschwächt. Ein Bandpass stellt das Gegenstück zur Bandsperre dar.

Je nach Anwendungsbereich handelt es sich dabei um optische, akustische oder elektrische Bandpassfilter. Elektrische Bandpassfilter können als eine rückwirkungsfreie Kombination von einem Hochpass und einem Tiefpass ausgedrückt werden. Ein spezieller, schmalbandiger elektrischer Bandpass ist das Bandfilter, welches unter anderem zur Kanaltrennung im Zwischenfrequenzverstärkern von Überlagerungsempfängern eingesetzt wird.

Eigenschaften

Betrag der Übertragungsfunktion

Der Durchlassbereich, welcher aus der Übertragungsfunktion ersichtlich ist, ist durch eine Bandbreite B um die Mittenfrequenz f₀ charakterisiert. Die Mittenfrequenz wird auch als Resonanzfrequenz bezeichnet und ist definiert als das geometrisches Mittel des Produkts von f_H und f_L:

$f_{0}={\sqrt {f_{H}\cdot f_{L}}}$

Die Bandbreite B des Filters stellt die Differenz zwischen der oberen Grenzfrequenz f_H und der unteren Grenzfrequenz f_L dar. Bei technischen Systemen wird als Wert wo der Übergang zwischen den Sperrbereich und dem Durchlassbereich erfolgt, üblicherweise eine Reduktion um 3 dB gegenüber den Maxiumwert definiert.

Bandpässe weisen mindestens eine Filterordnung von zwei auf. Bandpässe mit symmetrischer Übertragungsfunktion um die Mittenfrequenz f₀ weisen immer eine gerade Filterordnung auf.

Bandpass 2. Ordnung

Elektrischer LRC-Bandpass 2. Ordnung

Der einfachste Bandpass ist ein Bandpass 2. Ordnung, wie er als elektrisch passives Filter in nebenstehender Abbildung skizziert ist. Bandpässe 2. Ordnung weisen abseits des Durchlassbereichs eine Flankensteilheit von 20 dB pro Dekade auf und die Übertragungsfunktion mit den Werten der Bauelemente R, L und C lautet:

$H(s)={\frac {sRC}{1+sRC+s^{2}LC}}={\frac {s\cdot {\frac {2D}{\omega _{0}}}}{1+s\cdot {\frac {2D}{\omega _{0}}}+s^{2}\cdot {\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}}}$

Allgemein kann die Übertragungsfunktion auch durch einen Dämpfungsgrad D und der Resonanzkreisfrequenz ω₀ ausgedrückt werden. Der Zusammenhang zu der Bandbreite B und Resonanzfrequenz f₀ ist:

$B=2D\cdot {\frac {\omega _{0}}{2\pi }},\qquad f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}$

Alternativ kann die Übertragungsfunktion auch mit einem Gütefaktor Q:

$Q={\frac {f_{0}}{B}}={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

ausgedrückt werden. Für hohe Gütefaktoren Q ergeben sich dann schmalbandige Bandfilter.

Bandpässe höherer Ordnung

Passiver Bandpass höherer Ordnung in T-Topologie

Bandpassfilter höher Ordnung weisen steilere Filterflanken auf und können im Gegensatz zu den Bandfiltern im Durchlassbereich einen flacheren Verlauf des Betragsfrequenzganges aufweisen. Die Übertragungsfunktion für einen Bandpass 4. Ordnung lautet:

$H(s)={\frac {a_{1}s^{2}}{1+b_{1}s+b_{2}s^{2}+b_{3}s^{3}+s^{4}}}$

mit den allgemeinen Koeffizienten a₁, b₁, b₂ und b₃. Für Filter höherer Ordnung ergeben sich ähnliche Übertragungsfunktionen.

Anwendungsbereiche

Elektronik

Niederfrequenz

Ein Bandpass wird oft aus einer Kombination von Hochpass und Tiefpass zusammengesetzt, diese werden aus Schaltungen von Kondensatoren, Widerständen und Spulen gebildet.

Die Filterwirkung eines Bandpassfilters im Niederfrequenzbereich kann mit Begriffen der Tontechnik beschrieben werden: Höhensperre (engl. treble cut) und Tiefensperre (Bassfilter oder Rumpelfilter, engl. low cut) ergeben zusammen einen Bandpass für den wichtigsten Hörbereich, der zum Beispiel bei Sprachwiedergabe schmalbandiger sein kann als bei anspruchsvoller Musik.

Für besonders steile Bandgrenzen werden aktive Filter oder digitale Filter eingesetzt.

Auch derjenige Teil einer Lautsprecherweiche für das Mitteltonchassis ist ein Bandpass.

Hochfrequenz

Bei der Realisierung von Bandpässen spielt hier das Phänomen der Resonanz eine wesentliche Rolle.

Man nutzt dabei das Frequenzverhalten von Schwingkreisen aus, die bei ihrer Resonanzfrequenz hochohmig (Parallelschwingkreis) bzw. niederohmig (Serienschwingkreis) werden. Ein einzelner (Parallel-)Schwingkreis stellt je nach seiner Güte einen eher schmalen Bandpass dar. Wenn man zwei oder mehr Schwingkreise zusammenschaltet (gilt genauso für die induktive Kopplung weiter unten), kann man durch geeignete Wahl von (kleinen) Differenzen der einzelnen Resonanzfrequenzen bewirken, dass die Gesamtanordnung einen definierten, breiteren Frequenzbereich durchlässt. Das Bild 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau.

Der linke und der rechte Kreis (Parallelschwingkreise) werden im jeweiligen Frequenzbereich hochohmig, während der obere Kreis (Serienschwingkreis) niederohmig wird. Die Schaltung lässt also ein schmales Frequenzband passieren. Außerhalb des Bandes werden die beiden Parallelschwingkreise niederohmig und schließen so die unerwünschten Frequenzen kurz, während der Serienschwingkreis hochohmig wird und diese Frequenzen nicht durchlässt.

Zu den Bandpassfilter zählen auch die Terzfilter und Oktavfilter, die einen bestimmten Frequenzbereich durchlassen und genormte Übertragungsfunktionen mit sehr steilen Flanken besitzen. In der Norm wird zwischen bestimmten Güteklassen für diese Filter unterschieden.

Bild 2: Bandfilter alter Bauweise aus zwei magnetisch gekoppelten Schwingkreisen

Nach dem Superhet-Prinzip arbeitende Radio- und Fernsehempfänger verwenden als Bandfilter bezeichnete Bandpassfilter zur Frequenzselektion auf Zwischenfrequenzebene. Diese Bandfilter bestanden früher aus zwei lose gekoppelten (induktive Kopplung oder Fußpunktkopplung) Schwingkreisen in einem gemeinsamen Abschirmgehäuse. Man schaltete mehrere solcher Bandfilter, jeweils mit einer Verstärkerstufe versehen, hintereinander, um die nötige Trennschärfe zu erreichen.

Die beiden Schwingkreise eines Bandfilters gehorchen den physikalischen Gesetzen gekoppelter Schwinger. Dementsprechend gibt es auch hier unterkritische und überkritische Kopplung. Zur Realisierung einer nahezu rechteckigen Duchlasskurve sind die Schwingkreise leicht überkritisch gekoppelt. Es ergibt sich eine hutförmige Übertragungsfunktion.

Heute verwendet man als ZF-Filter Keramikschwinger (LW, MW, UKW) oder AOW-Filter (Fernsehempfänger, Funkgeräte, Mobiltelefone). Im UHF-Bereich können Bandpässe auch aus Leitungskreisen bestehen.

Im Mikrowellenbereich bestehen Bandpässe oft ebenfalls aus Leitungskreisen (Streifenleiter) oder auch aus Löchern und Schlitzen in beziehungsweise zwischen Hohlleitern.

Lautsprecher

Als Bandpasslautsprecher wird ein Lautsprechergehäuse bezeichnet, das im Grunde aus einem geschlossen Gehäuse und einem darum herum konstruierten Bassreflex-Gehäuse besteht, man bezeichnet diese Gehäuse auch als „ventilierte“ Bandpässe. Der Lautsprecher hat keine direkte Kopplung zum Schallraum, der komplette Schall wird über die „Reflexöffnung“ (die in diesem Fall eigtl. keine ist) abgegeben. Dies kann man auch ausnutzen, beispielsweise um die Richtung der Schallwellen genauer zu steuern, so erreicht man z. B. in einer Limousine mit richtig konstruiertem Gehäuse (beispielsweise Reflexöffnung direkt zur Skidurchreiche) eine perfekte Schallwiedergabe, ohne ein Scheppern des Kofferraums entstehen zu lassen, weil der Schall nur in die gewünschte Richtung austritt.

Bei richtiger Anwendung entsteht in einem gewissen Wellenlängenbereich eine Anhebung des Schallpegels, hervorgerufen durch den im umschließenden Gehäuse entstehenden Helmholtz-Resonator. Vorteile des Bandpassgehäuses sind die theoretisch beliebig wählbare untere und obere Grenzfrequenz, und der Schallpegelanstieg im Wirkungsbereich. Je breiter allerdings das Frequenzspektrum gewählt wird, desto geringer fällt der Schallpegelanstieg aus, und umgekehrt, mit zunehmendem Schallpegelanstieg sinkt also die Breite des Frequenspektrum. Weitere Nachteile sind die relativ großen Gehäuseabmessungen und die recht schlechte Impulswiedergabe, bedingt durch den Strömungswiderstand im „umschließenden“ Reflexgehäuse. Außerdem können bei zu gering gewähltem Reflexrohrdurchmesser störende Strömungsgeräusche auftreten. Die größte Gefahr beim Bandpassgehäuse ist die Fehlabstimmung.

Verallgemeinernd kann man sagen: Je größer die geschlossene Kammer, desto geringer die Güte Qtc, also desto geringer die Belastbarkeit (durch die abnehmende Badämpfung). Jedoch nimmt die untere Grenzfrequenz mit zunehmender Kammergröße ebenfalls ab, ebenso wie die Flankensteilheit am unteren und oberen Ende des Frequenzbereichs.

Bei der vorderen Kammer ist es sehr schwierig, genaue Aussagen zu treffen, da hier die Größe der Kammer, der Durchmesser des Rohres und dessen Länge sowie deren Verhältnisse zueinander eine entscheidende Rolle spielen. Bei der Wahl der Abmessungen des Rohres ist man allerdings relativ frei, jedoch muss das Verhältnis zwischen Länge und Durchmesser und der daraus resultierende Strömungswiderstand exakt stimmen; will man beispielsweise ein dünneres Rohr verwenden, muss die Länge dementsprechend gekürzt werden.

Allgemein kann man sagen, dass eine kleinere offene Kammer durch die Abnahme der bewegten Massen einen Gewinn des Schallpegels mit sich führt. Wie bereits angesprochen, ist vor allem das Verhältnis zwischen der vorderen Kammer und dem Strömungswiderstand des Reflexrohres extrem wichtig, verkleinert man die vordere Kammer, müsste man auch das „Reflexrohr“ verkleinern, was wiederum zu den vorher angesprochenen Strömungsgeräuschen führt. Dies kann man teilweise durch eine Trennung der Reflexöffnung erreichen, beispielsweise durch die Strohhalmtechnik oder Einbringung von Wellpappe, jedoch muss dann das gesamte Gehäuse neu berechnet werden. Die Gefahr der Fehlabstimmung ist hier extrem hoch, oft entstehen „Krachboxen“, die zwar einen hohen Schallpegel, jedoch nur auf einem sehr geringen Frequenzbereich erbringen. Beispielsweise erreicht man so im Bereich von 50–55 Hz einen Anstieg des Pegels um bis zu 12 dB, wobei sich der Schallpegel unter und über diesem Bereich entsprechend senkt, mit teilweise unangenehmer Flankensteilheit. Am deutlichsten wird dies mit einem linearen Basstest (also z. B. 10 Hz Absenkung pro Sekunde). Manchmal wird beim Bandpasslautsprecher auf Tiefpassfilter verzichtet, davon ist allerdings abzuraten, da aufgrund des Resonators unschöne Obertöne bei quadratischen Werten der Resonanzfrequenz entstehen können (2×Fr, 4×Fr, 8×Fr usw.), dies kann durch Einbringung von Dämmmaterial weitgehend verhindert werden, was allerdings eine Senkung des Schallpegels nach sich zieht und eine Neuberechnung nötig macht. Ein Bandpasslautsprecher ist in diesem Sinne also kein vollwertiger Frequenzfilter.

Bei der Lautsprecherauswahl sollte man auf den Gütefaktor und die untere Grenzfrequenz besonderen Wert legen, da dieser bei dieser Gehäuseart direkt Rückschlüsse auf das Frequenzspektrum der später entstehenden Box erlaubt, Werte für Qtc zwischen 0,7 und 0,9 (Faustregel: Frequenzspektrum = Güte Qtc des Lautsprechers x untere Grenzfrequenz des Lautsprechers) sind hier durchaus vertretbar, wobei eine höhere Güte ein höheres Frequenzspektrum nach sich zieht. Werte für Qtc über 0,9 sind trotzdem zu vermeiden, da die Flankensteilheit hierdurch noch einmal erhöht wird, was zu vorher erwähnten „Krachboxen“ führen kann.

Fazit

Bei der Wiedergabe von lang gezogenen Basstönen im richtigen Frequenzbereich ist ein Bandpass-Subwoofer aufgrund des Pegelanstiegs im Grunde unschlagbar, wobei man hier nur eine relativ schwache „Kickbass“-Wiedergabe zu erwarten hat. Dies entsteht dadurch, dass der Helmholtz-Resonator einfach eine gewisse Zeit braucht, um „auf Touren“ zu kommen.

Vorsicht

Bei der Berechnung sollte auch das Volumen des Schallraums einbezogen werden, so wird man in einem großem Raum einen anderen Frequenzverlauf feststellen als z. B. im Auto, je größer der Raum, desto geringer ist logischerweise die Abweichung von der Freifeldmessung, welche bei den meisten Taschenrechnermethoden berechnet wird.

Oben genannte Beschreibung bezieht sich vor allem auf einfach ventilierte Bandpassboxen, wobei auch doppelt ventilierte Boxen (also im Prinzip ein Lautsprecher zwischen zwei Bassreflexboxen) und kaskadierende Anordnungen (Reihenschaltung von mehreren Reflexkammern) möglich sind, welche zwar zusätzliche Abstimmungsmöglichkeiten erlauben, jedoch deutlich schwieriger zu berechnen sind. Bei doppelt ventilierten Gehäusen sollte z. B. ein gerades Kammerverhältnis z. B. von 2:1 unbedingt vermieden werden! Außerdem muss bei doppelt ventilierten Gehäusen durch eine ausreichende Distanz zwischen den Öffnungen eine Auslöschung verhindert werden, so ist beispielsweise ein Tunnelabstand (Weg des Schalls, kürzester Weg zwischen vorderer und hinterer Membran) zwischen vorderer und hinterer Membran im Bereich von 1/2·Fr unbedingt zu vermeiden, da hier sonst ein umgekehrter TL-Frequenzgang entsteht, bei dem sich gewisse Wellenlängen komplett auslöschen.

Optik

Bandpässe für optische Wellenlängen sind Farbfilter. Sie bestehen häufig aus Interferenzfiltern und können sehr schmalbandig ausgeführt werden. Ein weiterer verstellbarer, schmalbandiger optischer Bandpass ist der Monochromator.

Auch die sogenannten Bayer-Filter, die vor jedem Pixel eines Farb-Bildsensors die entsprechende Grundfarbe (Rot, Grün, Blau) passieren lassen, sind Interferenzfilter.

Literatur

• Ulrich Tietze, Christoph Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42849-6. 

Weblinks

• kostenloses Programm zur Erstellung verschiedener Filter und deren Schaltungen mit Operationsverstärkern
• Wichtigste Definitionen zu optischen Bandpass-Filtern