Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen

Die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen (nach Augustin Louis Cauchy und Bernhard Riemann) sind ein Begriff aus der Funktionentheorie und sind ein Kriterium für komplexe Differenzierbarkeit.

Es folgt zunächst eine kurze Übersicht über die verwendeten Begriffe und ihren mathematischen Zusammenhang.

Sei f eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen, d.h. Definitionsbereich und Zielbereich von f sind Teilmengen der komplexen Zahlen.

Dann lässt sich f in der Form f = u + iv darstellen, mit reellwertigen Funktionen u und v.

Für eine komplexe Zahl z gibt es eine Darstellung der Form z = (x,y), mit reellen Zahlen x und y.

Für die Funktionswerte f(z) gilt dann f(z) = u(z) + iv(z),

bzw. f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y).

Für u und v lassen sich (unter den unten angegebenen Voraussetzungen) die partiellen Ableitungen

${\frac {\partial u}{\partial x}}$ und ${\frac {\partial u}{\partial y}}$, sowie ${\frac {\partial v}{\partial x}}$ und ${\frac {\partial v}{\partial y}}$ bilden.

Man kann zeigen, dass die komplexe Differenzierbarkeit von f = u + iv mit folgenden Eigenschaften der partiellen Ableitungen von u und v gleichwertig ist:

${\frac {\partial u}{\partial x}}$ = ${\frac {\partial v}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial u}{\partial y}}$ = $-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Dies sind die Cauchy Riemannschen partiellen Differentialgleichungen. Sie implizieren, dass u und v harmonische Funktionen sind.

Dabei ist zu beachten, dass komplexe Differenzierbarkeit nur für innere Punkte einer Menge definiert ist, d.h. es gibt eine Kreisscheibe, die solche Punkte enthält und die ganz im Definitionsbereich von f liegt.

Komplexe Differenzierbarkeit von f = u + iv impliziert die Existenz der partiellen Ableitungen von u und v.