Ziegenproblem

Auf der Suche nach einem Auto wählt der Kandidat Tor 1. Der Moderator wählt immer ein Tor, hinter dem sich eine Ziege verbirgt (hier Tor 3), öffnet es und schlägt dem Kandidaten vor, das Tor zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, das Tor zu wechseln?

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma (nach dem Moderator der US-amerikanischen Spielshow „Let's make a deal“, Monty Hall) ist eine Problemstellung aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

Problem und Lösung

Problem

Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln zugrunde.

1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind.
3. Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von den beiden anderen Toren eines zufällig aus und öffnet es.
5. Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
7. Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.

Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?

Lösung

Der Kandidat sollte das Tor wechseln. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt dann 2/3.

Erklärung der Lösung

Vereinfachte Erklärung

Ohne zu wechseln gewinnt der Kandidat nur in einem Drittel aller möglichen Fälle, das heißt er gewinnt nur dann, wenn er zufällig von Anfang an das "richtige" Tor mit dem Auto gewählt hat, beide Ziegen also hinter den beiden anderen, nicht gewählten Toren stehen.

Da sich aber in 2/3 aller Fälle hinter dem gewählten Tor eine Ziege befinden wird, und hinter den beiden nicht gewählten Toren die zweite Ziege und das Auto, verdoppelt der Kandidat mit einem Wechseln seine Gewinnchance von 1/3 auf 2/3.

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat also in zwei Drittel aller möglichen Fälle:
Wählt er anfangs Tor 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn sich das Auto hinter Tor 2 befindet und der Moderator folglich Tor 3 mit der dahinter zwangsläufig vorhandenen Ziege öffnet, als auch dann, wenn das Auto hinter Tor 3 steht und der Moderator folglich Tor 2 mit der dort zwangsläufig vorhandenen Ziege geöffnet hat. In beiden Fällen gewinnt der Kandidat das Auto beim Öffnen der zum Wechseln angebotenen Türe.

Analoges gilt aus Symmetriegründen für jede beliebige Nummerierung der Türen.

Plausiblere Erklärung der bestehenden Wahrscheinlichkeiten

Angenommen, die Regel wäre wie folgt geändert: Nachdem der Kandidat eine der drei Türen gewählt hat, bietet ihm der Spielleiter sofort an, sich alternativ für die beiden anderen Türen zu entscheiden. Und wenn bei deren gleichzeitigem Öffnen das Auto hinter einer jener zwei anderen Türen steht, hätte der Kandidat gewonnen (obwohl sich hinter zumindest einer der beiden anderen Türen ja zwangsläufig zumindest eine Niete befinden muss). Falls der Kandidat das Angebot annimmt und sich für die zwei anderen Türen entscheidet, öffnet der Spielleiter jene beiden anderen Türen nun gleichzeitig. Hier ist unmittelbar einsichtig, dass der Kandidat seine Chance verdoppelt, wenn er das Angebot annimmt. Das Ergebnis ist dasselbe wie bei der Original-Spielregel.

Der Unterschied liegt nur darin, dass der Spielleiter eben eine der beiden anderen Türen schon einmal vorab öffnet und – gemäß Spielregel – eine hinter jenen zwei Türen ja zwangsläufig vorhandene Niete offenbart, bevor er den Wechsel zu den zwei anderen Türen anbietet. Weil sich hinter den beiden anderen Türen – wie von vornherein bekannt ist – zumindest eine der beiden Nieten befinden musste (die vom Spielleiter nun gezeigt worden ist) hat sich die Spiel-Situation für den Kandidaten durch das Öffnen der einen Nieten-Türe in keiner Weise geändert. Hinter den beiden alternativen Türen kann sich ja höchstens ein Auto befinden, und das Vorzeigen der Niete hat nur gezeigt, hinter welcher der beiden alternativen Türen es nicht zu finden ist. Das Zeigen der Mindestanzahl von einer hinter den beiden anderen Türen zwangsläufig vorhandenen Niete hat somit zwar keinerlei für das Spiel relevanten zusätzlichen Erkenntniswert (1/3 : 2/3) gebracht, doch der Umstand, dass nun nur noch eine der beiden anderen Türen verschlossen ist, verführt zu einer gravierenden Fehleinschätzung der Situation und zum naheliegenden fatalen "50:50 -Trugschluss". Die bestehende Wahrscheinlichkeitsverteilung (1/3 : 2/3) und das Ergebnis sind durch das Vorzeigen der ja schon von vornherein sicheren Niete aber in keiner Weise beeinflusst worden.

Detaillierte Begründung

Das Problem ist zwar nicht einfach zu durchschauen, doch hilft das konsequente Verständnis der Spielregel: Hinter zwei der drei Türen sind Nieten, und im Grunde hat der Kandidat tatsächlich ja zweierlei Wahlmöglichkeiten: Entweder er wählt nur eine der drei Türen (1/3) oder er wählt die beiden anderen Türen (2/3). Er wird in jedem Fall die gleichzeitige Wahl von möglichst vielen, in diesem Fall von zumindest zwei Türen vorziehen und seine Chance damit verdoppeln (freilich weiß er, dass es nur einen einzigen Gewinn gibt und zumindest hinter einer der zwei anderen Türen eine Niete sein muss). Hat er vorerst nur eine der drei Türen gewählt (1/3), so liegt die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Gewinn hinter einer der zwei anderen Türen befindet, bei 2/3, obwohl ja wie gesagt sicher ist, dass sich zumindest hinter einer der beiden anderen Türen eine der beiden Nieten verbergen muss. Er wechselt vernünftigerweise seine Wahl auf zumindest zwei Türen (die beiden anderen Türen). Beide könnten zwar Nieten sein, doch seine Gewinnchance hat er durch die Wahl von zwei Türen verdoppelt. Dass zumindest hinter einer der zwei anderen Türen mit Sicherheit eine Niete stecken muss, ist von vornherein klar und wird demonstriert, ihm wird jene Niete ja auch gezeigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Gewinn hinter einer der zwei anderen Türen befindet, beträgt nach wie vor 2/3.

Die Chance des Kandidaten, zu Beginn des Spieles die richtige Türe erraten zu haben, liegt also zweifelsfrei bei genau 1/3 und er verdoppelt seine Chance auf 2/3 durch das Wechseln auf die beiden anderen Türen. Dass sich hinter den beiden anderen Türen nur höchstens ein Auto befinden kann, ist klar. Das Öffnen einer zwangsläufig vorhandenen Nieten-Türe hat nichts daran geändert, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Gewinn hinter (maximal) einer der zwei anderen Türen befindet, weiterhin 2/3 beträgt. Das Öffnen hat nur offengelegt, hinter welcher der beiden anderen Türen sich der Gewinn nicht befinden kann. Seine Chance hätte ohne Wechsel genau 1/3 betragen. Auch nachdem eine der zwei anderen Türen, die ja in jedem Fall eine Niete sein muss, geöffnet worden ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter einer der beiden anderen Türen (in diesem Fall hinter der zweiten ungeöffneten Türe) befindet, ebenso zweifelsfrei weiterhin genau 2/3. Er verdoppelt somit seine Chance durch einen unbedingten Wechsel der Türe.

Begründung über Wahrscheinlichkeiten

Im folgenden wird der Fall angenommen, dass der Kandidat zunächst auf Tor 1 zeigt. Die Begründung für die anderen beiden Fälle verläuft völlig analog. Die in Klammern angegebenen Zahlen beziehen sich zur Begründung der jeweiligen Aussage auf die entsprechende Bedingung der oben aufgeführten Aufgabenstellung.

In 1/3 der Fälle steht das Auto hinter Tor 1. (1) In der Hälfte dieser Fälle, also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, in einem weiteren Sechstel Tor 3. (4)

In 2/3 der Fälle steht das Auto hinter Tor 2 oder Tor 3, und zwar in der einen Hälfte dieser Fälle hinter Tor 2, in der anderen Hälfte hinter Tor 3. (1) In der einen Hälfte dieser Fälle, also in einem Drittel der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, in der anderen Hälfte Tor 3. (5)

Durch das Öffnen des Nietentors 2 oder 3 reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tor 2 oder 3 steht, um die Hälfte, also auf 1/3 der Gesamtzahl der Fälle.

Außerdem reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tor 1 steht, ebenfalls um die Hälfte, also auf 1/6 der Gesamtzahl der Fälle.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für diejenige der Tore 2 oder 3, die der Moderator nicht geöffnet hat, beträgt also (1/3)/(1/6 + 1/3) = 2/3.

Das Ergebnis kann man auch so ausdrücken:

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Tor 1 ist eine Invariante des Spiels; ebenso die Gewinnwahrscheinlichkeit für „Tor 2 oder 3“.

Begründung über Wertetabelle

Nach Schritt drei der Problemstellung ergeben sich neun mögliche Kombinationen aus erster Wahl des Kandidaten und Position des Autos:

Wahl=1 und Auto=1 
Wahl=1 und Auto=2 *
Wahl=1 und Auto=3 *
Wahl=2 und Auto=1 *
Wahl=2 und Auto=2
Wahl=2 und Auto=3 *
Wahl=3 und Auto=1 *
Wahl=3 und Auto=2 *
Wahl=3 und Auto=3

Mit dem Stern sind die Kombinationen markiert, bei denen Wechseln zum Gewinn des Autos führt. Es sind sechs der neun Möglichkeiten, also führt in sechs von neun oder 2/3 der Fälle Wechseln zum Gewinn des Autos.

Schema für die „Wechselstrategie“

Für die folgende Erklärung wird festgelegt, dass der Kandidat Tor 1 wählt. (Die gleiche Erklärung lässt sich auch für Tor 2 oder Tor 3 durchführen.) Das Auto steht hinter einem der drei Tore. Wählt der Kandidat die Immer-Wechseln-Strategie, dann führt das in den drei Situationen zu folgendem Resultat.

	Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird entweder die Ziege von Tor 2 oder Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel verliert er.
	Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.
	Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 2 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.

Fazit: Er gewinnt in zwei von drei Fällen durch einen Wechsel.

Erklärung mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes

Entscheidungsbaum zum Ziegenproblem

Beim Schätzen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten ist es wichtig, keine Informationen, die zur Verfügung stehen, zu übersehen: hier ein Entscheidungsbaum für das Problem. Annahme bei diesem Entscheidungsbaum: Das Auto befindet sich hinter dem Tor A.

Satz von Bayes

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung existiert mit dem Satz von Bayes eine Formel zum Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. Um diese auf das Ziegenproblem anzuwenden, werden folgende Symbole für die Zufallsereignisse verwendet:

$M_{x}$: Der Moderator hat Tor $x$ geöffnet.

$A_{x}$: Das Auto befindet sich hinter Tor $x$.

Aus der Aufgabenstellung lassen sich die folgenden A-priori-Wahrscheinlichkeiten ableiten.

• Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt. (1. Regel)

  $P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})={\tfrac {1}{3}}$

• Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht. (5. Regel)

  $P(M_{3}|A_{2})=P(M_{2}|A_{3})=1$

Die Wahrscheinlichkeit, nach dem Wechseln des Tores das Tor mit dem Auto gewählt zu haben, setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Zum Einen die Wahrscheinlichkeit $P(M_{3})\cdot P(A_{2}|M_{3})$, dass der Moderator Tor 3 öffnet und das Auto hinter Tor 2 steht, und zum Anderen die Wahrscheinlichkeit $P(M_{2})\cdot P(A_{3}|M_{2})$, dass der Moderator Tor 2 öffnet und das Auto hinter Tor 3 steht. Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(A_{2}|M_{3})$ und $P(A_{3}|M_{2})$ lassen sich jeweils mit dem Satz von Bayes berechnen.

${\begin{aligned}P(M_{3})\cdot P(A_{2}|M_{3})+P(M_{2})\cdot P(A_{3}|M_{2})&=P(M_{3})\cdot {\frac {P(M_{3}|A_{2})\cdot P(A_{2})}{P(M_{3})}}+P(M_{2})\cdot {\frac {P(M_{2}|A_{3})\cdot P(A_{3})}{P(M_{2})}}\\&=P(M_{3}|A_{2})\cdot P(A_{2})+P(M_{2}|A_{3})\cdot P(A_{3})\\&=1\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}\\&={\tfrac {2}{3}}\end{aligned}}$

Auch hier ergibt sich eine Gewinnwahrscheinlichkeit von ${\tfrac {2}{3}}$ beim Wechsel.

Eine Million Tore

Das Ziegenproblem lässt sich auch erklären, indem man die Situation überspitzt. Es gibt dann eine Million Tore und hinter genau einem befindet sich das Auto. Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, öffnet der Moderator alle anderen Tore bis auf eines. Hier ist es sofort einsichtig, dass der Kandidat wechseln sollte: Die Wahrscheinlichkeit, mit dem zuerst gewählten Tor richtig zu liegen, ist sehr gering. Wenn man die Zahl der Tore verringert, ändert sich nichts daran, dass der Kandidat das Tor wechseln sollte, nachdem der Moderator alle bis auf eine Niete entfernt hat. Insbesondere gilt dies auch für den Fall mit drei Toren.

Sprachlich einfache Erklärungen

Der Moderator kann nur ein Tor öffnen, hinter dem sich der Gewinn nicht befindet. Er muss in der hier besprochenen Aufgabenstellung immer ein Tor wählen. Ein Kandidat, der sich immer gegen den Wechsel entscheidet, gewinnt nur, wenn er auf Anhieb das richtige Tor trifft. Dies geschieht in einem Drittel der Fälle. Ein Kandidat, der immer wechselt, verliert in allen Fällen, in denen er ohne Wechsel gewonnen hätte, also einem Drittel der Fälle, und gewinnt folglich in zwei Dritteln der Fälle.

Alternativen und Erweiterungen

Alternativ kann man sich auch folgende Interpretation des Spieles durch den Kandidaten vorstellen: Der Kandidat wählt in Gedanken zwei Tore aus, sagt aber das dritte an und bittet den Moderator, eine Niete sicher auszuschließen. Danach ist von seinen zwei innerlich gewählten (nicht angesagten) Toren nur dann eins eine Niete, wenn der Gewinn schon vorher hinter dem einzigen nicht ausgewählten Tor (dem angesagten) versteckt war. Die Chance dafür ist ein Drittel. Folglich ist, wenn der Kandidat immer das Angebot zum Wechsel annimmt, die Gewinnchance zwei Drittel. Anders gesagt: Der Kandidat benutzt den Moderator dadurch zur Mitarbeit, dass er vorgibt, sich für das in Gedanken ausgeschlossene Tor zu entscheiden, woraufhin der Moderator die gewünschte Auswahl in den zwei innerlich gewählten Toren vornimmt. Zum übriggebliebenen Tor wird der Kandidat dann offen wechseln, es gehörte ja ohnehin zu seinen beiden Auswahlkandidaten.

Recht einsichtig wird das Ganze auch, wenn man die Situation etwas erweitert. Zur Vereinfachung der Beschreibung sei dabei angenommen, der Kandidat habe sich für Tor 1 entschieden und der Moderator habe Tor 2 geöffnet, d. h. der Kandidat kann sich zwischen Tor 1 und Tor 3 entscheiden. Ohne dass sich irgendetwas an der Wahrscheinlichkeit ändert, den Gewinn zu bekommen, kann man nun auch annehmen, dass der Moderator dem Kandidaten zusätzlich zu dem Gegenstand hinter Tor 3 auch noch die Ziege hinter Tor 2 schenkt. Ebenfalls ändert sich nichts an der Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn der Moderator Tor 2 nun wieder schließt. Und es ändert sich auch nichts an der Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn der Moderator die Nummern von den Toren 2 und 3 abnimmt, so dass der Kandidat nicht mehr weiß, welches Tor ursprünglich Nummer 2 und welches 3 war (er bekommt ja sowieso beide). Damit wäre das Problem reduziert auf die Aufgabe, entweder Tor 1 zu wählen oder aber die beiden anderen, wobei klar ist, dass hinter einem der anderen beiden Tore eine Ziege steht. Betrachtet man nun diese Aufgabenstellung losgelöst vom ursprünglichen Problem, wird intuitiv jeder zur Wahl der beiden anderen Tore tendieren, denn bei der Wahl von zwei Toren ist logischerweise die Gewinnwahrscheinlichkeit höher als bei der Wahl nur eines Tores.

Leserbrief an Marilyn vos Savant

Ein Leserbrief von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland an Marilyn vos Savant enthielt die folgende Aufgabenstellung:

„„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?' Ist es von Vorteil, das Tor Nummer 2 zu wählen?“

– Game-Show-Problem

Gegenüber der Definition des Ziegenproblems in diesem Artikel fehlen unter anderem zwei wesentliche Punkte: die Regeln für den Showmaster sind nicht formuliert und es ist nicht ersichtlich, ob der Kandidat die Regeln kennt. Damit der Kandidat trotzdem mindestens eine 50-prozentige Chance auf den Gewinn hat, muss er zufällig eines der beiden verbleibenden Tore öffnen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Wechsel wäre beispielsweise Null, wenn der Showmaster nur anbietet zu wechseln, wenn hinter der gewählten Tür ein Auto steht. Sie beträgt 50%, wenn er das vom Teilnehmer gewählte Tor öffnet und dahinter eine Ziege ist. Sie ist nicht wohldefiniert, wenn der Showmaster die entsprechenden Strategien willkürlich ändert.

In ihrer ersten Antwort auf den Leserbrief erklärte Marilyn vos Savant die Lösung des Problems ähnlich wie bei „eine Million Tore“ dargestellt.

Durch die Antwort von Marilyn vos Savant auf den Leserbrief, die richtige – aber unerwartete – Strategie sei „immer wechseln“, wurde das Problem international auch außerhalb der Mathematik in großem Maße bekannt und erzielte große Aufmerksamkeit und Kontroversen.

Ähnliche Aufgaben

Zum Ziegenproblem gibt es mit dem Drei-Kasten-Problem und dem Gefangenenparodoxon zwei Aufgaben, die die gleiche Problematik mit anderen Hintergrundgeschichten erzählen. Daneben gibt es noch die Spielshow „Geh aufs Ganze!“, die zwar Ähnlichkeiten mit dem Ziegenproblem aufweist, aber letztendlich ein anderes Problem darstellt.

Bertrands Schachtelparadoxon

Bei Joseph Bertrands Drei-Kasten-Problem aus dem Jahr 1889 gibt es drei Kästen mit je zwei geschlossenen Schubladen. Im ersten Kasten liegt in jeder Schublade eine Goldmünze. Im zweiten Kasten liegt in jeder Schublade eine Silbermünze und im dritten Kasten liegt in der einen Schublade eine Gold- und in der anderen eine Silbermünze. Jemand wählt zufällig einen Kasten aus und öffnet ebenso zufällig eine der beiden Schubladen. In dieser liegt eine Goldmünze. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist nach dem Öffnen der Schublade in der anderen Schublade eine Silbermünze? Auch hier ist die Antwort ${\tfrac {1}{3}}$.

Gefangenenparadoxon

→ Hauptartikel: Gefangenenparadoxon

Beim Gefangenenparadoxon aus dem Jahr 1959 spielt die Hintergrundgeschichte in einem Gefängnis. Dort sitzen drei zum Tode verurteilte Gefangene: Anton, Brigitte und Clemens. Genau einer von ihnen soll begnadigt werden. Dazu wird ein Los gezogen, das allen die gleiche Chance gibt, begnadigt zu werden. Der Gefangene Anton bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen Brigitte oder Clemens zu nennen, der oder die sterben muss. Der Wärter antwortet ‚Brigitte‘. Wie hoch ist nun Antons Überlebenswahrscheinlichkeit? Auch hier ist die Antwort ${\tfrac {1}{3}}$.

Geh aufs Ganze!

→ Hauptartikel: Geh aufs Ganze!

Das Ziegenproblem ähnelt der Spielshow „Geh aufs Ganze!“, unterscheidet sich aber in einem wesentlichen Punkt: Beim Ziegenproblem ist immer genau ein Gewinn vorhanden. Bei „Geh aufs Ganze“ können auch mehrere und wertmäßig unterschiedliche Gewinne vorhanden sein, unter anderem auch ein offenes Geldangebot in bar. Der Moderator bietet dem Spieler Geld, wenn er sich umentscheidet und das vom Moderator gewollte Tor nimmt. Der Moderator feilscht regelrecht mit dem Spieler, erhöht sein Angebot (100, 200, 300… Euro) und geht bis zu einem Limit, das der Spieler vorher nicht kennt. Wenn sich dann der Spieler nicht sofort für das Geld entscheidet, ist das Angebot weg und der Spieler muss das gewählte Tor nehmen. Deshalb unterscheidet sich hier die optimale Strategie. Sie hängt maßgeblich von der Risikoaversion des Kandidaten ab. Der Moderator erhöht schrittweise die sichere Alternative (das Geldangebot), bleibt dabei jedoch unter dem Wert des Hauptpreises. Der Kandidat muss entscheiden, ob ihm das sichere Geldangebot mehr wert ist als die Chance auf den Hauptgewinn. Die Entscheidungstheorie nennt dies das Sicherheitsäquivalent.

Literatur

• Gero von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, Reinbek 1992, ISBN 3-499-19337-X
• Olle Häggström: Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-23050-5
• Henk Tijms: Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. University Press, Cambridge 2004, ISBN 0521833299
• Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis – Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken. Berlin-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-8270-0079-3
• Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik, Seite 54 f, Gruyter, August 2004, ISBN 3-11-018282-3

Weblinks

Commons: Ziegenproblem – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Ziegenproblem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Recht anschauliche Beschreibung
• Die Zeit: Das Rätsel der drei Türen
• Matheprisma der Uni Wuppertal: Ziegenproblem – Online Simulation, bedingte und totale Wahrscheinlichkeit, Bayes-Formel