Diophantische Gleichung

Eine diophantische Gleichung (benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophantos/Diophant von Alexandria, um 250) ist eine Gleichung der Form f(x₁, x₂, x₃, . . ., x_n) = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten, bei der man sich nur für ganzzahlige Lösungen interessiert. Diese Einschränkung der Lösungsmenge ergibt einen Sinn, wenn Teilbarkeitsfragen beantwortet werden sollen, oder wenn es sich um Probleme der Kongruenzarithmetik handelt.

• Beispiel 1: 120 x - 23 y + 1 = 0 ist eine lineare d.G. mit den Koeffizienten a = 120, b = -23 und dem Absolutglied +1. Der einfacheren Notation wegen schreiben wir bei einfachen Fällen x anstelle von x₁, y statt x₂, usf. Eine Lösung dieser d.G. ist x = 9 und y = 47.
  
• Beispiel 2: x² + y² = z² ist eine quadratische d.G., deren kleinste positive Lösung x = 3, y = 4, z = 5 ist.
  
• Beispiel 3: x⁴ + y⁴ + z⁴ - 13 x y z = 20 ist eine d.G. vierten Grades, die x = 2, y = 1, z = 3 als Lösung hat.
  

Die Beispiele führen zu folgenden Fragen:

• Hat eine vorliegende d.G. überhaupt eine Lösung?
• Falls ja: gibt es mehrere Lösungen, gibt es unendlich viele?
• Gibt es Verfahren (Algorithmen), die Lösungen zu berechnen gestatten?
  

Aus der Vielzahl der diesbezüglichen Antworten seien hier genannt:
1. Die lineare d.G. ax + by = c hat genau dann ganzzahlige Lösungen in x und y, wenn c durch den größten gemeinsamen Teiler von (a,b) teilbar ist. Demzufolge hat 120 x - 23 y + 1 = 0 eine Lösung.

2. Für die Lösung der linearen d.G. ax + by + c = 0 läßt sich ein erweiterter Euklidischer Algorithmus anwenden. Dies soll am Beispiel von

120 x - 23 y + 1 = 0

gezeigt werden. Die Kettendivision (Euklidischer Algorithmus) liefert mit den Koeffizienten von 120 x - 23 y + 1= 0 zunächst

120 = 5*23+5, d.h. es ist  qo = 5,  woraus folgt
 23 = 4*5+3,               q1 = 4, und
  5 = 1*3+2,               q2 = 1, und
  3 = 1*2+1,               q3 = 1, und 
  2 = 1*1+1,               q4 = 1.

Mittels der Rücklaufformeln

y{n+1} = qn*yn + y{n-1}   mit y{-1} = 0, yo = 1 und
x{n+1} = qn * xn +x{n-1}  mit x{-1} = 1, xo=0 

ergibt sich die Tabelle:

          qo=5      q1=4      q2=1      q3=1      q4=1
-----------------------------------------------------------
y{-1}=0   yo=1      y1=5      y2=21     y3=26     y4=47
x{-1}=1   xo=0      x1=1      x2=4      x3=5      x4=9

Somit ist x = 9, y = 47 Lösung der vorgegebenen d.G.

Diophantische Gleichungen höheren Grades führen häufig auf komplizierte zahlentheoretische Probleme. Ein Beispiel ist der Große Fermatsche Satz ( aⁿ + bⁿ = cⁿ besitzt für n > 2 keine ganzzahligen Lösungen ≠ 0 ), dessen Beweis erst 1995 dem Briten Andrew Wiles zusammen mit Richard Taylor gelang.

Verweise

Online-Tool zum Lösen von linearen diophantischen Gleichungen