Ring (Algebra)

Ring

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie Zahlentheorie

ist Spezialfall von

additive Abelsche Gruppe multiplikative Halbgruppe Modul

umfasst als Spezialfälle

kommutativer Ring (Axiom K) unitärer Ring (N) Schiefkörper (NI) Körper (KNI) nullteilerfreier Ring (0) Integritätsbereich (0K) ganze Zahlen Z euklidischer Ring Hauptidealring [?] Polynomringe Restklassenringe

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, die sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist.

Definition (Ring)

Formal definiert ist ein Ring eine Menge ${\mathcal {R}}$ mit zwei darauf definierten zweistelligen Verknüpfungen, bezeichnet als Addition ($+$) und Multiplikation ($\cdot$). Bezüglich der Addition ist ${\mathcal {R}}$ eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element 0 genannt wird. Bezüglich der Multiplikation ist ${\mathcal {R}}$ eine Halbgruppe (d.h. abgeschlossen, assoziativ). Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz verknüpft, das heißt:

Für alle Elemente $a,b,c$ aus der Menge ${\mathcal {R}}$ gilt:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition.

Eigenschaften

Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Ring). Die Ideale im Ring R sind gerade die Untermoduln dieses Moduls R.

Arten von Ringen

Ist die Multiplikation kommutativ, spricht man von einem kommutativen Ring.

Gibt es bezüglich der Multiplikation ein neutrales Element, so wird dies normalerweise als 1 bezeichnet, man hat dann einen Ring mit 1 (Einselement) oder unitären Ring.

Ist ${\mathcal {R}}$ ein Ring mit $1\neq 0$ und gibt es zudem für alle $a\in {\mathcal {R}}\setminus \{0\}$ ein multiplikatives Inverses, so heißt ${\mathcal {R}}$ Schiefkörper, ist der Schiefkörper ${\mathcal {R}}$ zudem noch kommutativ, nennt man ihn einen Körper.

Gibt es in ${\mathcal {R}}$ keine von 0 verschiedenen Elemente $a,b$, so dass $a\cdot b=0$, dann heißt ${\mathcal {R}}$ nullteilerfrei.

Ist ${\mathcal {R}}$ ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit $1\neq 0$, dann nennt man ${\mathcal {R}}$ Integritätsring.

• lokaler Ring
• Boolescher Ring

Zur Verwendung des Wortes Ring

Die Namensgebung Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Rundes, sondern auf einen Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. Einige ältere Vereinsbezeichnungen (wie z.B. Der Ring des Nibelungen, Deutscher Ring, Weißer Ring u.a.) weisen noch auf diese Bedeutung hin.

Weiteres

Alle multiplikativ invertierbaren Elemente bilden die Einheitengruppe.

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siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen