Stationärer stochastischer Prozess

Stationarität bezeichnet in der Mathematik eine Eigenschaft von stochastischen Prozessen oder gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Definition

Ein stochastischer Prozess $(x_{t}|t\in \mathbb {T} )$ heißt schwach stationär, wenn

• $\mathbb {E} x_{t}^{*}x_{t}<\infty \quad \forall t\in \mathbb {T}$.
• $\mathbb {E} x_{t}=m$ ist konstant (gleich) für alle $t\in \mathbb {T}$
• $\gamma (s,t)=\gamma (s+r,t+r)\quad \forall s,t,r\in \mathbb {T}$.

$\mathbb {E}$ bezeichnet hier den Erwartungswert, $\mathbb {T}$ steht für eine beliebige Indexmenge, meist die ganzen Zahlen, manchmal auch die natürlichen Zahlen oder die reellen Zahlen, mit der oft die Zeit modelliert wird. $\gamma$ bezeichnet die Autokovarianzfunktion.

Interpretation

Stationarität ist eine der bedeutendsten Eigenschaften stochastischer Prozesse in der Zeitreihenanalyse. Mit der Stationarität erhält man Eigenschaften, die nicht nur für einzelne Zeitpunkte gelten, sondern Invarianzen über die Zeit hinweg sind. Die Zeitreihe hat zu allen Zeitpunkten den gleichen Erwartungswert und die gleiche Varianz. Die wichtigste Klasse von nichtstationären Prozessen sind intregrierte Prozesse.

Die erste Eigenschaft sagt schlichtweg, dass jede der Zufallsvariable zu dem Hilbertraum $L^{2}$ gehört. Hieraus folgt dann auch, dass der Erwartungswert $Ex_{t}$ existiert.

Mit der zweiten Eigenschaft kann man zu einem neuen Prozess ${\tilde {x_{t}}}:=x_{t}-Ex_{t}$ übergehen, für den dann $E{\tilde {x_{t}}}=0$ gilt. Dieser Prozess wird auch zentrierter Prozess' genannt. Stationäre Prozesse haben also im wesentlichen immer den Mittelwert Null.

Die dritte Forderung stellt ein Beziehung zwischen den unterschiedlichen Zeitpunkten her und ist damit die bedeutendste Eigenschaft. Sie sagt aus, dass die Kovarianzen zwischen den Zeitpunkten nicht von den beiden Zeitpunkten selbst, sondern nur von dem Abstand der beiden Zeitpunkte zueinander abhängt. Die Bedingung kann auch so formuliert werden, dass $\gamma (r)$ eine Funktion nur einer einzigen Variablen $r$ ist. Dies hat unter anderem zur Konsequenz, dass $\Gamma =Exx^{*}-(Ex)(Ex)^{*}$ eine unendliche Block Toeplitz-Matrix ist.

Geometrische Bedeutung

Die geometrische Interpretation des [univariat]en Falles ($n=1$) greift auf den Hilbertraum $L^{2}$ zurück, dessen Elemente die einzelnen Zufallsvariable des Prozesses sind. Die geomatrische Interpretation unterstützt das tiefere Verständnis des Begriffs der Stationarität.

Da $Ex_{t}^{2}$ eine Norm in $L^{2}$ ist, kann die Forderung $Ex_{t}^{2}=\gamma (0)$ so verstanden werden, dass alle Prozessvariable gleich lang sind, d. h. auf einer Kugel liegen.

$Ex_{t+s}x_{t}=\gamma (s)$ sagt dann, obiger Interprtation folgend, dass für festes $s$ alle $x_{t}$ den gleichen Winkel einschließen. Erhöht man $s$ um Eins, so wird immer um den selben Winkel weitergedreht.

Forderung (ii) beudeutet nicht anderes als $<x_{t},1>=m$, also der Winkel zwischen der Einheit und jeder Prozessvariablen ist konstant. Hier wird ein Breitengrad aus der Einheitskugel ausgeschnitten.

Stationarisierung

Eine nichtstationäre Zeitreihe stationär zu machen ist eine wichtige erste Aufgabe bei der Zeitreihenanalyse. Weit verbreitete Methoden sind hier die Bildung von ersten Differenzen oder das Umskalieren der Zeitreihe oder logaritmieren.

Beispiele

Der wichtigste stationäre Prozess ist das weiße Rauschen. Weiters sind noch Gauss-Prozesse und Ma-Modelle stationär. Von theoretischer Bedeutung sind auch noch harmonische Prozesse, die unter gewissen Bedingungen stationär sind.

Literatur

• P. J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series: Theory and Methods. Springer Verlag, Berlin 2002
• G. E. P. Box, G. M. Jenkins: Times Series Analysis: Forcasting and Control.