Potenzfunktion

Graphen einiger Potenzfunktionen

Die Potenzfunktion ist eine elementare mathematische Funktion der Form

$f:\,x\mapsto ax^{n}\qquad a,n\in \mathbb {R}$

Spezialfälle sind also zum Beispiel die bekannten Funktionen:

• konstante Funktion: $f:\,x\mapsto a$
• (homogene) lineare Funktion/Proportionalität: $f:\,x\mapsto ax$
• Quadratfunktion und Vielfache davon: $f:\,x\mapsto ax^{2}$

Die Graphen der Potenzfunktionen mit natürlichem $n$ heißen Parabeln $n$-ter Ordnung, die mit ganzzahligem negativen $n$ Hyperbeln $n$-ter Ordnung.

Die zugehörige Ableitungsfunktion ist (siehe Potenzregel)

$f\,':\,x\mapsto anx^{n-1}.$

Aus den Potenzfunktionen mit natürlichem $n$ werden die Polynom-Funktionen zusammengesetzt.

Potenzfunktionen mit positivem $n$ haben immer eine Nullstelle bei $x=0$, divergieren für große $|x|$ (gehen gegen plus oder minus unendlich), steigen aber immer langsamer an als die Exponentialfunktion $e^{x}$.

Potenzfunktionen mit negativem $n$ haben immer eine Polstelle bei $x=0$, konvergieren für große $|x|$ gegen 0, fallen aber immer langsamer ab als die Exponentialfunktion $e^{-x}$.

Siehe auch

• Potenz
• Wurzelfunktion

Weblinks

• Alle Fälle von Potenzfunktionen im farbigen, grafischen Vergleich

• Alle Fälle von Potenzfunktionen in Form von interaktiven Java-Applets