Fraktal

Eine fraktale Erscheinung liegt vor, wenn eine Operation zu Ergebnissen führt, auf die wiederum die Operation angewandt wird, und so weiter. Das auf eine solche Weise erzeugte Muster, eine derart strukturierte Grundgesamtheit oder eine derart erklärbare oder beobachtbare und durch hohe Selbstähnlichkeit gekennzeichnete Erscheinung ist fraktal, fraktalartig. Von Benoit Mandelbrot (1977) geprägter Begriff (aus dem lateinischen adjectiv: fractus; von dem lat. Verb frangere: in Stücke zerbrechen, irregulär), der alle (natürlichen) Gebilde bezeichnet, die selbst oder deren typische Eigenschaften über eine Zergliedertheit verfügen und einen hohen Grad an Zufälligkeit aufweisen. Mandelbrot hat solche Erscheinungen, Muster und Gebilde näher untersucht und dabei neue beschreibende Zusammenhänge zwischen Dimension, Symmetrie, Selbstähnlichkeit und innerer Verbindungsvielfalt entdeckt. Er hat dabei auch den Begriff der Dimension verallgemeinert und festgestellt, dass solche Gebilde als Räume (oder mathematische Gebilde) mit einer nicht-ganzzahligen Dimension angesehen werden können. (Zur Erinnerung: ein Zahlenstrahl hat die Dimension 1, eine Fläche die D 2, ein Raum die D 3.) Daher wird nach ihm alles, was eine gebrochene Dimension aufweist, als Fraktal bezeichnet.

Genauer wird folgende Überlegung durchgeführt: Wenn man das Gebilde in kleine Teile unterteilt, und dann diese Teile wiederum in kleinere untereinander gleichartige Teile unterteilt, so dass alles darin vorkommt UND diese Aufteilung (selbst-)ähnlich der ersteren ist, wie verhält sich dann die Anzahl der ersteren zu der Anzahl der Teile feineren Auflösung. Die (fraktale) Dimension ist damit ein Maß für den Vervielfachungsgrad einer Menge von Teilen, die diese Teile erzeugt hat und dann wiederum auf die erzeugten Teile angewandt wird.

Mandelbrot hat herausgefunden, dass kein Fraktal eine Dimension größer als e haben kann.