Brahmagupta-Identität

Die Brahmagupta-Identität, auch als Brahmagupta–Fibonacci-Identität oder Fibonacci-Identität bekannt, ist eine Identität in der elementare Algebra. Sie beschreibt, wie sich das Produkt von zwei Summen, bestehend aus je zwei Quadratzahlen, wieder als Summe von zwei anderen Quadratzahlen darstellen lässt.

$\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)$ $=\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2}$ $=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}$ $=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}$

Ein Zahlenbeispiel:

$(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=30^{2}+1^{2}=26^{2}+15^{2}.$

Als direkte Folgerung aus der Identität ergibt sich, dass die Menge der Summen zweier Quadratzahlen bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist.

Historisches

Die Identität geht auf den indischen Mathematiker und Astronomen Brahmagupta (598–668) zurück und findet sich in seinem Werk Brahmasphutasiddhanta aus dem Jahre 628. Dieses wurde zunächst von Muhammad al-Fazari aus dem Sanskrit ins Arabische übersetzt; um 1128 entstand dann eine Übersetzung in Latein aus der arabischen Version. Später wird die Identität auch in Fibonaccis Liber Quadratorum von 1225 beschrieben.

Weblinks

• Brahmagupta-Identität bei PlanetMath (engl.)
• Brahmagupta-Fibonacci-Identität (engl.)