Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826), der um 1798 auch die Bezeichnung „faculté“ dafür einführte, verwendet.

Definition

Für alle natürlichen Zahlen $n$ ist

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$

als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis $n$ definiert. Außerdem gilt analog zum leeren Produkt

$0!=1.$

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:

$n!={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=0\\n\cdot (n-1)!&{\text{falls }}n>0\end{cases}}$

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert.

Beispiele

${\begin{aligned}1!&=1\\2!&=1\cdot 2=2\\3!&=1\cdot 2\cdot 3=6\\4!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\\5!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\end{aligned}}$

Die Werte der Fakultäten bilden Folge A000142 in OEIS.

Anwendung

Eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl $e$ lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots$

Bedeutung für die Kombinatorik

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil $n!$ die Anzahl der Möglichkeiten ist, $n$ unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls $X$ eine $n$-elementige Menge ist, so ist $n!$ auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen $X\to X$ (die Anzahl der Permutationen).

Beispiel

Bei einem Autorennen starten 6 Fahrer. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge beim Zieleinlauf dieser Fahrer, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen?

Lösung: Für den ersten Platz kommen alle 6 Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den 3. Platz nur noch 4 Fahrer in Frage, usw. Es gibt also $6!=720$ verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Fakultätähnliche Funktionen

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

Gammafunktion

Die Gammafunktion $\Gamma (x)$ verallgemeinert die Fakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

$n!=\Gamma (n+1),\qquad n\in \mathbb {N}$

$\Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t$

Faktoriellen

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen $(n)_{k}$ und $(n)^{k}$ dar, denn $(n)_{n}=(1)^{n}=n!$.

Primfakultät

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

$n_{\#}=\prod _{p\leq n,\;p{\text{ prim}}}p$

Subfakultät

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät $!n$ bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von $n$ Elementen.

Doppelfakultät

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist das Produkt

$n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {gerade,} \\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {ungerade,} \end{cases}}$

wenn $n>0$, außerdem definiert man 0!! = 1 und (−1)!! = 1 wie beim leeren Produkt. Zum Beispiel ist $(2n-1)!!$ die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von $2n$ Elementen, auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf. Häufig werden stattdessen aber Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet:

$(2k)!!=2^{k}\cdot k!$     und     $(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}\cdot k!}}$

Multifakultät

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache ($n!!!$), vierfache ($n!!!!$), ..., $k$-fache Fakulät ($n!^{(k)}$) refursiv definiert als

$n!^{(k)}:={\begin{cases}1&{\text{falls }}0\leq n<k\\n(n-k)!^{(k)}&{\text{falls }}n\geq k\end{cases}}$

Superfakultät

Für die Superfakultät $\mathrm {sf} (n)$ gibt es zwei unterschiedliche Definitonen; die eine defniert sie als das Produkt der ersten Fakultäten:

$\mathrm {sf} (n)=\prod _{i=1}^{n}i!=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 4!\cdots n!=G(n+2)$

mit der Barnes'schen Funktion $G(n)$

Hyperfakultät

Die Hyperfakultät $H_{n}$ ist für natürliche $n$ folgendermaßen definiert:

$H(n)=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=1^{1}2^{2}3^{3}4^{4}\cdots n^{n}$

Sie kann durch die K-Funktion auf komplexe Zahlen verallgemeinert werden.

Verwandte Begriffe

• Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine $k$-elementige Teilmenge aus einer $n$-elementigen Menge auszuwählen. Hier ist das beliebteste Beispiel das Zahlenlotto 6 aus 49 mit

${49 \choose 6}={\frac {49!}{6!\,(49-6)!}}=13\,983\,816$

Möglichkeiten.

• Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen vieler Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Numerische Berechnung

Der numerische Wert für $n!$ kann gut rekursiv berechnet werden, falls $n$ nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist $69!\approx 1{,}7\cdot 10^{98},$ da $70!\approx 1{,}2\cdot 10^{100}$ außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt.

Wenn $n$ groß ist, bekommt man eine gute Näherung für $n!$ mit Hilfe der Stirling-Formel:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$

Dabei bedeutet $\sim$, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für $n\to \infty$ gegen $1$ konvergiert.

Weblinks

• Peter Luschny: The Homepage of Factorial Algorithms (englisch, effiziente Algorithmen und weitere Informationen)
• Eric W. Weisstein: Factorial. In: MathWorld (englisch). (englisch)
• Berechnung von n! für n ≤ 2500 (JavaScript)
• Näherung für n! auch für große n (JavaScript)