Julia-Menge

Teppich der Ränder einiger Julia–Mengen

Die Julia-Mengen, erstmals von Gaston Maurice Julia beschrieben, sind oft Fraktale Mengen in der komplexen Zahlenebene.

Eine einfache und bekannte Art von Julia-Mengen wird durch folgender Rekursion definiert: Mit zwei komplexen Zahlen, c und z₀, sei

z_n+1 = z_n² + c.

Für einen gegebenen Wert von c ist die Julia-Menge dann die Menge aller komplexer Zahlen z₀, deren Betrag nach beliebig vielen Iterationsschritten beschränkt bleibt. Man kann nachweisen, dass eine solche Iterationsfolge immer weiter anwächst, sobald ein Iterationsglied den Betrag 2 überschreitet.

Insofern gibt es also für jeden komplexen Zahlenwert c eine Julia-Menge.

Beziehung zur Mandelbrot-Menge

Julia-Mengen haben einen engen Bezug zur Mandelbrot-Menge. Jene ist die Menge der c, für die obige Rekursion (z_n+1 = z_n² + c) beschränkt bleibt, wenn man z₀ = 0 wählt.

Die Mandelbrotmenge ist gewissermaßen eine Beschreibungsmenge der Juliamengen. Wenn man die Mandelbrotmenge graphisch darstellt, entspricht jedem Punkt c in der komplexen Zahlenebene eine Juliamenge. Eigenschaften der Julia-Menge lassen sich an der Lage des Punktes innerhalb der Mandelbrot-Menge abschätzen. Wenn der Punkt c Teil der Mandelbrot-Menge ist, dann ist die Julia-Menge zusammenhängend. Andernfalls ist die Julia-Menge eine Cantormenge unzusammenhängender Punkte. Falls c auf dem Rand der Mandelbrotmenge liegt, dann ähnelt die entsprechende Juliamenge in kleinen Umgebungen um c der Mandelbrot-Menge.

Graphische Darstellung der Julia-Mengen

In graphischen Darstellungen der Julia-Mengen in der 2-dimensionalen komplexen Zahlenebene wird die Farbe eines Punktes danach gewählt, wie viele Iterationen notwendig waren, bis der kritische Betrag von 2 überschritten wurde. Alle nicht derartig divergenten Punkte werden schwarz dargestellt.

Verallgemeinerung

3D–Schnitt einer quaternionischen 4D–Julia-Menge

Obige Definition kann allgemeiner gefasst werden. Jede Abbildung der komplexen Zahlen auf sich selbst ist geeignet, eine Julia-Menge zu erzeugen. Die Julia-Menge ist dann die kleinste Fixpunktmenge jener Abbildung.

Beispielsweise ist jedes Polynom p(z) vom Grad >= 2 über den komplexen Zahlen geeignet. Der Rand der Menge "{ z | Die Folge $(p^{n}(z))_{\in \mathbb {N} }$ ist beschränkt}" ist dann die Julia-Menge von p, kurz J_p.

Man kann auch die ursprüngliche Definition auf die Algebra der Quaternionen ausweiten. Diese ist ein reell 4–dimensionaler Raum, weshalb eine vollständige Darstellung einer Juliamenge darin problematisch ist. Es ist aber möglich, den Schnitt einer solchen Julia–Menge mit einer 3-dimensionalen Hyperebene zu visualisiern.

Weblinks

Julia-Fraktale erforschen Java-Plugin erforderlich Vorlage:Commons2